Avant d’entrer dans une banque de problèmes, il faut savoir ce qu’on y trouvera, selon quelles conceptions didactiques elle est construite, et comment on pourra en tirer profit. Cette introduction va tenter de donner quelques réponses à ces trois types de questions.

1. Les problèmes du RMT

La banque du RMT propose des problèmes aux caractéristiques suivantes :

1.1. Originalité

Les problèmes doivent être originaux et plaisants pour les élèves, avec l’idée de « défi », qui exigera de l’ingéniosité mais aussi du temps pour l’appropriation de la tâche et l’organisation des démarches de résolution. La plupart des problèmes de concours présentent cette caractéristique d’originalité, comme ceux de revues spécialisées de jeux mathématiques, et parfois comme les « problèmes de recherche » qu’on peut trouver dans certains manuels. A propos de cette première caractéristique, il faut relever qu’un problème n’est « nouveau » qu’une seule fois pour celui qui le résout, avant d’entrer dans son répertoire de problèmes déjà rencontrés, qu’ils soient résolus ou non.

1.2. Contexte

Les problèmes du RMT, comme ceux de nombreux concours sont contextualisés, c’est-à-dire qu’ils sont issus de situations telles que les élèves pourraient les rencontrer dans la vie courante, dans leur quotidien ou dans une fiction, avec des personnages, des objets, des actions … Ils se distinguent en cela des « exercices » ou « problèmes d’application » scolaires où l’on passe directement à la mise en œuvre des connaissances qui viennent d’être étudiées. Par conséquent, pour les problèmes du RMT, une première tâche de l’élève est de décontextualiser la situation avant de s’engager dans la résolution mathématique.

1.3. Appropriation

Les élèves doivent pouvoir s’approprier le problème sans aucune intervention du maître. Comme dans la plupart des concours, il n’y a pas d’aide extérieure, mais le RMT souhaite toutefois que ses problèmes soient accessibles à la majorité des élèves et non seulement aux plus brillants d’entre eux. Cette adéquation entre les tâches de résolution et le niveau de développement des élèves est un des objets de « l’analyse a priori » conduite systématiquement lors de l’élaboration de chaque problème.

1.4. Explication des solutions

La tâche des élèves ne se termine pas à la résolution du problème, ils doivent encore expliquer la manière dont ils ont trouvé la solution. Cette demande est importante de différents points de vue:

• elle exige de l’élève une explicitation de ses raisonnements et de ses procédures qui, autrement, pourraient rester au plan des des intuitions;
• elle permet aux personnes qui attribuent les points aux copies une évaluation plus objective;
• elle facilite l’identification du niveau d’acquisition des connaissances mobilisées ainsi que des obstacles ou erreurs au profit d’une analyse didactique.

1.5. Contenus mathématiques identifiables

Parmi tous les problèmes de mathématiques, et des concours en particuliers, certains font appel à des compétences générales, raisonnements, logique, créativité … difficiles à décrire ou identifier précisément, par exemple : une grille de Sudoku, une recherche de stratégie dans un jeu, un casse-tête géométrique. D’autres problèmes sont plus directement liés à un savoir ou une connaissance facilement reconnue de l’enseignement ou apprentissage. La banque de problèmes du RMT est constituée avant tout de problèmes de cette dernière catégorie.

2. L’organisation des données : les fiches

Lorsqu’un problème a été soumis à des centaines ou des milliers de groupes d’élèves et que ceux-ci ont décrit la manière dont ils ont cherché à le résoudre, l’examen et l’analyse des copies représente une riche source de données, d’une grande diversité : procédures, erreurs, obstacles qui semblent pourvoir être exploitées au niveau didactique.

Ce sont ces données que la banque cherche à mettre en évidence au travers des rubriques de ces fiches qui sont organisées ainsi:

2.1. L’énoncé

Il est donné sous la forme où il y été présenté aux lors des épreuves, indépendamment des résultats.

2.2. Identification

Les rubriques d’identification, mots-clés et résumé permettent au lecteur de se faire une idée rapide des contenus et savoirs en jeu, de relier le problèmes à d’autres problèmes où la tâche de résolution présente des analogies, de savoir à quels niveaux scolaires il a été proposé.

2.3. Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Cette rubrique développe sensiblement le résumé et envisage les diverses tâches des élèves, de décontextualisation, d’appropriation puis de résolution, ainsi que les savoirs mathématiques à mobiliser selon les différentes procédures que peuvent choisir les élèves.

2.4. Points attribués

Il s’agit des statistiques des points attribués sur l’ensemble des copies recueillies après les épreuves, accompagnés des critères d’attribution qui avaient été élaborés a priori.

De courts commentaires peuvent accompagner ces résultats, pour souligner les évolutions d’une catégorie à l’autre ou pour insister sur certaines fréquences de points qui paraissent significatives.

Lorsque le problème a été expérimenté dans d’autres recherches, ou que certaines de ses variantes très proches des statistiques complémentaires peuvent figurer en complément.

2.5. Procédures, obstacles et erreurs relevés

On rejoint ici une des finalités du RMT : en savoir plus sur la manière dont les élèves mettent en œuvre leurs connaissances, par une observation des difficultés, obstacles ou erreurs les plus caractéristiques que les analyse a posteriori ou d’autres études des groupe de travail du RMT ont pu mettre en évidence.

2.6. Exploitations didactiques et développements

Les données recueillies, il s’agit de se demander comment les exploiter. On quitte alors le terrain des élèves pour entrer dans celui de l’enseignant responsable de la conduite de la classe.

Dans un premier temps, on ne peut que s’en tenir aux commentaires ou suggestions inspirées par les observations et analyses initiales. Ces rubriques vont ensuite s’étoffer progressivement par les compte rendus de tous ceux qui auront pratiqué ou expérimenté le problème dans leur classe.

La banque est interactive, ses problèmes évolueront et enrichiront en permanence les observations sur la manière dont les élèves les résolvent et les exploitations didactiques à en tirer.

3. Les conceptions de l’apprentissage liées à l’exploitation des problèmes du RMT

Les problèmes du RMT et leurs analyses sont conçus dans une conception de l’apprentissage qu’il semble important de préciser pour éviter des malentendus à propos de leur exploitation à des fins d’apprentissage.

Dans cette conception, le problème est une activité où l’élève va faire face à une situation qu’il n’a jamais rencontrée ou inédite, dans laquelle il devra faire appel à des connaissances nouvelles ou à des savoirs à actualiser.

L’élève pourra alors rencontrer des obstacles dus à l’inadéquation de ses savoirs antérieurs pour la situation nouvelle. Pour surmonter ces obstacles, il devra parfois reconstruire un savoir, le généraliser.

Ce travail de reconstruction de savoirs anciens ou de construction de savoirs nouveaux est l’enjeu du problème, mais il ne va pas se faire spontanément durant la résolution du problème. Il faut que l’élève prenne conscience des conceptions antagonistes de savoir en jeu : celle qui est inadéquate ou erronée et celle qui permettra d’arriver à la solution. Cette confrontation peut éventuellement s’ébaucher au sein du groupe d’élèves, mais le plus souvent, elle n’apparaîtra que lors d’un débat collectif organisé par le maître après que les élèves ont donné leurs réponses.

Le problème, même bien choisi et bien adapté au niveau des élèves, ne porte pas en soi les éléments qui vont permettre la construction spontanée d’un savoir ou son élargissement. Ce n’est qu’un point de départ pour faire apparaître différents niveaux de construction d’un concept, qui feront l’objet de confrontations ou d’échanges lors mises en commun. Proposer un problème de la banque à un élève et lui suggérer des pistes pour lui éviter les obstacles sont deux manières vont lui permettre d’arriver à la bonne réponse, mais sans remettre en cause sa conception du concept en jeu.

Lui proposer un problème tel qu’il a été conçu, sans aucune intervention extérieure autre que celles des camarades et le laisser chercher à surmonter les obstacles prévus, puis à organiser un débat ou des confrontations peut l’amener à une reconstruction du concept.

La maîtresse ou le maître qui choisit un problème de la banque doit donc être conscient de l’alternative, dont le premier volet (aider l’élève en lui expliquant comment faire ou en lui suggérant des pistes) est plus simple à gérer mais ne conduit pas à la construction de nouveaux concepts, et dont le second peut permettre d’atteindre l’objectif, mais au prix d’une gestion beaucoup plus délicate des phases d’incertitude, de débat et d’institutionnalisation.

4. Les destinataires de la Banque de problèmes

La banque de problèmes est élaborée pour chercher à répondre aux besoins:

• des enseignants tout d’abord, qui cherchent à les exploiter dans le cadre de leur enseignement, en les intégrant dans un « parcours didactique » pour la classe, une « séquence d’apprentissage », des « remédiations » pour certains groupes d’élèves en difficulté ;
• des formateurs d’enseignants;
• des chercheurs en didactique qui souhaitent approfondir un thème particulier;
• des animateurs du RMT, pour l’élaboration de nouveaux problèmes et leurs analyses a priori.

Pour en tirer profit, chacun pourra se rendre sur son site, en tant que simple « promeneur », en visiteur avec son degré d’intérêt personnel, en utilisateur et, pourquoi pas, en tant que coopérateur. C’est en effet dans cette intention qu’elle a été conçue : un outil collectif et évolutif sous la responsabilité de ceux qui s’engagent dans la pratique et la réflexion sur la résolution de problèmes.