Proponiamo in questa sede alcuni paragrafi relativi alla presentazione della banca di problemi che figurerà sul sito della banca stessa.

1. I problemi del RMT

La banca del RMT propone dei problemi aventi le seguenti caratteristiche:

1.1. Originalità

I problemi devono essere originali e attraenti per gli allievi, con un’idea di “sfida” che esigerà dell’ingegno, ma anche del tempo per l’appropriazione del compito e l’organizzazione delle procedure di risoluzione. La maggior parte dei problemi di concorsi presentano questa caratteristica di originalità, come quelli delle riviste specializzate di giochi matematici e talvolta anche come i “problemi di ricerca” di qualche testo scolastico. A proposito di questa prima caratteristica, dobbiamo rilevare che un problema è “nuovo” solo una volta per colui che lo risolve, prima di entrare a far parte del suo repertorio di problemi già incontrati, che siano stati risolti o no.

1.2. Contesto

I problemi del RMT, come quelli di numerosi concorsi, sono contestualizzati, nel senso che fanno riferimento a situazioni che gli allievi potrebbero incontrare nella vita corrente, nel loro quotidiano o in un racconto con dei personaggi, degli oggetti, delle azioni… Si distinguono dagli “esercizi” e dai “problemi di applicazione” scolastici dove si passa direttamente all’applicazione delle conoscenze che si sono appena studiate. Di conseguenza, per i problemi del RMT, un primo compito dell’allievo è quello di decontestualizzare la situazione prima di affrontare la risoluzione matematica.

1.3. Appropriazione

Gli allievi devono appropriarsi del problema senza alcun intervento dell’insegnante. Come nella maggior parte dei concorsi o delle gare, non c’è un intervento esterno, ma il RMT vorrebbe che i suoi problemi fossero accessibili alla maggior parte degli allievi e non solo ai più brillanti. Questa corrispondenza fra la risoluzione dei problemi e il livello di sviluppo degli allievi è uno degli obiettivi della “analisi a priori”, condotta sistematicamente quando si elabora ognuno dei problemi.

1.4. Spiegazione delle soluzioni

Il compito degli allievi non finisce con la risoluzione del problema; viene infatti anche chiesto loro di spiegare il modo in cui hanno trovato la o le soluzioni.

Tale richiesta è importante da svariati punti di vista:

• esige dall’allievo una esplicitazione dei suoi ragionamenti e delle sue procedure che, altrimenti, potrebbero rimanere sul piano dell’intuizione;
• permette a coloro che attribuiscono i punteggi agli elaborati una valutazione più obiettiva;
• facilita l’identificazione del livello di acquisizione delle conoscenze mobilizzate e degli ostacoli o errori utile ad un’analisi didattica.

1.5. Contenuti matematici identificabili

Tra i problemi di matematica, delle gare in particolare, alcuni fanno appello a competenze generali, ragionamenti, logica, creatività…, difficili da descrivere o da identificare precisamente, come ad esempio nei casi del Sudoku, di una ricerca di strategie in un gioco, di un rompicapo geometrico. Altri problemi sono più direttamente legati ad un sapere o una conoscenza facilmente riconosciuta dal punto di vista dell’insegnamento o dell’apprendimento. La banca di problemi del RMT è costituita soprattutto da problemi di quest’ultima categoria.

2. L’organizzazione dei dati: le schede

Quando un problema è stato proposto ad un centinaio o addirittura ad un migliaio di gruppi di allievi che hanno anche descritto il modo in cui hanno cercato di risolverlo, l’esame e l’analisi degli elaborati rappresenta una ricca sorgente di dati, di una grande diversità, che sembrano poter essere utilizzati a livello didattico: procedure, errori, ostacoli…

La banca cerca di mettere in evidenza proprio questi dati attraverso le diverse rubriche delle schede che sono organizzate nel modo seguente:

2.1. L’enunciato

E’ dato nella forma nella quale è stato presentato all’atto delle prove, indipendentemente dai risultati.

2.2. Identificazione

Le rubriche di identificazione, parole chiave e sunti permettono al lettore di farsi una rapida idea dei contenuti e saperi in gioco, di collegare il problema ad altri problemi nei quali il compito per la risoluzione presenta delle analogie, di poter saper a quali livelli scolastici è stato proposto.

2.3. Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Questa rubrica amplia il sunto e prende in considerazione i diversi compiti degli allievi, di decontestualizzazione, di appropriazione poi di risoluzione, così come i saperi matematici da mobilizzare secondo le diverse procedure che possono scegliere gli allievi.

2.4. Punteggi attribuiti

Si tratta delle statistiche relative ai punteggi attribuiti sull’insieme degli elaborati raccolti dopo le prove, accompagnate dai criteri di attribuzione dei punteggi che erano stati elaborati a priori.

In alcuni casi, brevi commenti accompagnano tali risultati al fine di sottolineare l’evoluzione da una categoria all’altra o per rilevare eventuali frequenze di punteggi che sembrano essere significative.

Quando il problema, o una sua variante molto prossima, è stato sperimentato nel corso di altre ricerche, possono figurare statistiche complementari.

2.5. Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Si tratta qui di prendere in considerazione una delle finalità del RMT: saperne di più sulla maniera in cui gli allievi mettono in opera le loro conoscenze, tramite un’osservazione di difficoltà, ostacoli o errori caratteristici che le analisi a posteriori o altri studi dei gruppi di lavoro del RMT hanno evidenziato.

2.6. Indicazioni didattiche e sviluppi

E’ necessario chiedersi come mettere a frutto i dati raccolti. Si lascia in questo caso il terreno degli allievi per entrare in quello dell’insegnante responsabile dell’andamento della classe.

In un primo tempo il riferimento è quello ispirato ai commenti o ai suggerimenti scaturiti dalle analisi iniziali. Queste rubriche si amplieranno progressivamente tramite le relazioni di tutti coloro che avranno utilizzato o sperimentato il problema nella propria classe.

La banca è interattiva, i suoi problemi evolveranno e arricchiranno in permanenza le osservazioni circa il modo in cui gli allievi li risolvono e le possibili utilizzazioni didattiche che ne conseguono.

3. Le concezioni dell’apprendimento legate all’utilizzazione dei problemi del RMT

I problemi del RMT e le loro analisi sono concepiti in una concezione dell’apprendimento che è importante precisare per evitare malintesi a proposito della loro utilizzazione per l’appunto a fini dell’apprendimento.

In tale concezione il problema è un’attività nella quale l’allievo è messo di fronte ad una situazione che non ha mai incontrato o che è inedita, per affrontare la quale dovrà fare appello a conoscenze nuove o a saperi da attualizzare.

L’allievo potrà allora incontrare degli ostacoli dovuti all’inadeguatezza dei suoi saperi anteriori rispetto alla situazione nuova. Per superare questi ostacoli dovrà ricostruire un sapere, generalizzarlo.

Questo lavoro di ricostruzione di saperi anteriori o di costruzione di nuovi saperi è l’obiettivo del problema, ma non avverrà spontaneamente nel corso della risoluzione del problema. Bisogna che l’allievo prenda coscienza delle concezioni antagoniste del sapere in gioco: quella che è inadeguata o errata e quella che permetterà di arrivare alla soluzione. Questo confronto può essere eventualmente abbozzato in seno al gruppo di allievi, ma più spesso nascerà nell’ambito del dibattito collettivo organizzato dall’insegnante dopo che gli allievi avranno proposto le loro risposte.

Il problema, anche se ben scelto e ben adattato al livello degli allievi, non porta in sé gli elementi che permetteranno la costruzione spontanea di un sapere o il suo ampliamento. Si tratta solo di un punto di partenza per fare apparire diversi livelli di costruzione di un concetto, che saranno oggetto di confronto o di scambi nella messa in comune. Proporre un problema della banca ad un allievo e poi suggerirgli delle piste per la ricerca della soluzione per evitargli gli ostacoli è un modo di permettergli di arrivare alla buona risposta, ma senza che rimetta in causa la sua concezione del concetto in gioco.

Proporgli un problema così come è stato concepito, senza alcun intervento esterno, a parte quelli dei suoi compagni di classe, e lasciare che cerchi di superare gli ostacoli previsti, poi organizzare dei confronti e un dibattito, è un modo per portarlo alla ricostruzione del concetto.

L’insegnante che sceglie un problema della banca deve essere cosciente della diversità delle due modalità. La prima (aiutare l’allievo spiegandogli come fare o dandogli suggerimenti) è più semplice da gestire, ma non conduce alla costruzione di nuovi concetti; la seconda può permettere di raggiungere l’obiettivo, ma al prezzo di una gestione molto più delicata delle fasi di incertezza, del successivo dibattito e della istituzionalizzazione.

4. I destinatari della banca di problemi

La banca di problemi è stata elaborata per cercare di rispondere ai bisogni:

• degli insegnanti, prima di tutto, che intendono utilizzarli nell’ambito del loro insegnamento, per integrarli in un “percorso didattico” per la classe, in una sequenza d’apprendimento o per il recupero di alunni in difficoltà;
• dei formatori;
• dei ricercatori in didattica che desiderano approfondire una tematica particolare;
• degli animatori del RMT, per l’elaborazione di nuovi problemi e le loro analisi a priori.

Ogni persona interessata potrà entrare nel sito della banca di problemi o solo per dare uno sguardo, oppure come visitatore con il proprio grado di interesse personale, o anche come utilizzatore e, perché no, come collaboratore. In effetti, è proprio per quest’ultima opzione che la banca è stata concepita: uno strumento collettivo e in evoluzione sotto la responsabilità di coloro che sono coinvolti nella pratica e nella riflessione sulla risoluzione di problemi.