Banque de problèmes du RMT
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Dans un assemblage de 8 petits cubes en un grand cube, déterminer le nombre de faces des petits cubes en contact avec d'autres, au total et pour chaque petit cube.
La première tâche est de créer un modèle respectant les données de l’énoncé, absolument nécessaire pour pourvoir s’engager dans la résolution. Ce modèle peut être :
a) constitué de 8 petits cubes (présents dans le matériel de classe) sur lequel on marque les emplacements des trous
b) des cubes, découpés dans du papier à partir d’un patron,
c) un dessin du grand cube dans lequel on voit bien les trois faces d’un petit cube,
d) une représentation mentale de l’assemblage des cubes
La deuxième tâche est d’établir les positions relatives de chacun des cubes, selon son modèle, et de se les approprier : 8 cubes permettent de former un grand cube (2 × 2 × 2), chaque petit cube constitue un sommet du grand, sa position peut se repérer (bas – haut ; gauche – droite ; avant - arrière), chaque petit cube a trois faces visibles et trois faces cachées qui sont en contact avec une face de trois autres petits cubes, ...)
La troisième tâche est de placer, ou situer, ou imaginer (selon les modèles) les emplacements des trous et des chevilles qui relient deux trous, pour se convaincre que deux faces en contact seront reliées par une cheville.
La tâche suivante peut se dérouler dans le cadre arithmétique : Chacun des huit petits cubes a trois faces en contact avec des autres, ce qui donne 24 (3 × 8) trous à relier deux à deux par 12 chevilles (24 : 2).
La tâche peut aussi être moins globale et se décomposer par assemblages successifs :
- si l’on considère tout d’abord quatre assemblages de 2 cubes par une cheville, on constate qu’on a utilisé 4 chevilles et que chaque cube a une face cachée (avec trou)
- si l’on assemble deux de ces paires, on forme un « carré » (2 × 2), qui exige 2 nouvelles chevilles et dans lequel chaque cube a deux faces cachées. En tout, pour les deux « carrés » on a utilisé 8 chevilles
- pour assembler les deux « carrés », l’un sur l’autre ou l’un contre l’autre, il faut encore 4 nouvelles chevilles et chaque cube aura 3 faces cachées (et trois trous).
Une dernière tâche consiste à vérifier et valider ses réponses, en relisant l’énoncé pour voir que l’on n’a rien oublié (en particulier la condition « de telle sorte que toutes les faces juxtaposées soient fixées avec une cheville ».
Les savoirs mobilisés pour ces tâches sont élémentaires lorsqu’on les considère individuellement: les caractéristiques d’un cube (6 faces, qui sont des carrés égaux), le fait qu’un cube formé de 8 cubes-unités est le cube (2 × 2 × 2), l’image mentale de ce grand cube (8 sommets occupés par chacun des 8 petits cubes, 6 faces laissant apparaître des carrés de (2 × 2) et quelques opérations arithmétiques sur de petits nombres naturels.
vision spatiale, cube, faces, faces communes, sommets
Points attribués sur 2063 classes de 18 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 220 (41%) | 89 (17%) | 70 (13%) | 59 (11%) | 93 (18%) | 531 | 1.47 |
| Cat 6 | 316 (38%) | 118 (14%) | 112 (13%) | 117 (14%) | 174 (21%) | 837 | 1.66 |
| Cat 7 | 172 (25%) | 94 (14%) | 93 (13%) | 101 (15%) | 235 (34%) | 695 | 2.19 |
| Total | 708 (34%) | 301 (15%) | 275 (13%) | 277 (13%) | 502 (24%) | 2063 | 1.79 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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