ARMT

Banca di problemi del RMT

3d1-it

centre

Le costruzioni della nonna

Identificazione

Rally: 19.II.10 ; categorie: 5, 6, 7 ; ambito: 3D
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Calcolare quanti pioli serviranno per unire 8 cubetti forati in modo tale da formare un cubo grande e determinare quante facce forate ha ciascun cubetto piccolo.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Il primo compito è di creare un modello rispettando le consegne dell’enunciato, assolutamente necessario per provvedere alla risoluzione. Questo modello potrebbe essere:\\ • costituito da 8 piccoli cubi sui quali si segnano i posti dei buchi;\\ • i cubi fatti con la carta a partire da un modello;\\ • un disegno di un grande cubo dentro il quale si veda bene le tre facce di un piccolo cubo;\\ • una rappresentazione mentale dell’assemblaggio dei cubi.\\

Il secondo compito è stabilire la posizione relativa di ciascuno dei cubetti, secondo il proprio modello, e se è appropriato 8 cubetti permettono di formare un grande cubo (2x2x2). Ciascun piccolo cubo costituisce un vertice del grande, la sua posizione può variare (basso-alto; destra-sinistra; avanti-dietro), ciascun piccolo cubo ha 3 facce visibili e 3 facce nascoste, che sono in contatto con una faccia delle altre 3 dei piccoli cubi.\\

Il terzo compito è di posizionare o sistemare o immaginare (secondo i modelli) i posti dei buchi e i pioli che uniscono 2 buchi, per convincersi che 2 facce in contatto saranno unite da un piolo.\\

L’ultimo compito è quello di svolgere i calcoli matematici: 3 x 8 = 24 (3 facce per ciascun cubo piccolo moltiplicato per 8, numero di cubi); poiché per collegare due facce è necessario un solo piolo, il numero dei pioli è la metà del numero delle facce che si toccano cioè 24 : 2 = 12.

Il compito può essere anche meno generale e procedere per tappe successive:\\ - si può considerare tutto in principio come 4 assemblaggi di 2 cubi con un piolo e constatare che si sono utilizzati 4 pioli e che ciascun cubo ha una faccia nascosta (con il buco).\\ - Si può assemblare due di questi paia per formare un quadrato (2x2), che richiede 2 nuovi pioli e dentro il quale ciascun cubo ha 2 facce nascoste. In tutto per i 2 quadrati si sono utilizzati 8 pioli.\\ - Per assemblare i 2 quadrati, l’uno sull’altro o l’uno contro l’altro, bisogna usare ancora 4 pioli e ciascun cubo avrà 3 facce nascoste (e 3 buchi).\\

Un ulteriore compito consiste nel verificare e controllare le proprie risposte, rileggere l’enunciato per vedere se non si è dimenticato nulla (in particolare la condizione” che tutte le facce giustapposte siano fissate da un piolo”). I saperi mobilizzati da questo problema sono elementari, quando si considera individualmente le caratteristiche di un cubo (6 facce, che sono dei quadrati uguali), il fatto che un cubo è formato da 8 cubi uniti, è un cubo (2x2x2), l’immagine mentale di un grande cubo (8 vertici occupati da ciascuno degli otto cubi piccoli, 6 facce lasciano apparire dei quadrati (2x2) e qualche operazione aritmetica sui piccoli numeri naturali ed inoltre l’avvio alla visualizzazione spaziale.

Nozioni matematiche

visione spaziale, calcolo, cubo

Risultati

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 5220 (41%)89 (17%)70 (13%)59 (11%)93 (18%)5311.47
Cat 6316 (38%)118 (14%)112 (13%)117 (14%)174 (21%)8371.66
Cat 7172 (25%)94 (14%)93 (13%)101 (15%)235 (34%)6952.19
Totale708 (34%)301 (15%)275 (13%)277 (13%)502 (24%)20631.79
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

Gli elaborati esaminati mostrano un elevato numero di incomprensione del problema (punteggio 0), in particolare nelle categorie 5-6, da cui si evidenzia che gli alunni non hanno una adeguata visualizzazione spaziale e spesso manca la consapevolezza che il cubo ha 6 facce tutte uguali e di forma quadrata. Nella categoria 7 invece i risultati sono decisamente migliori come si può vedere dalla tabella, forse perché i ragazzi con il maturare di esperienze sanno produrre disegni più chiari e precisi, indice di avvio alla costruzione di quest’abilità. Inoltre si osserva che la visualizzazione spaziale migliora proprio poco salendo da Cat.5 a Cat.6; infatti se supponiamo che i successi siano rappresentati in questo caso dai punteggi 2, 3 e 4, mentre gli insuccessi dai punteggi 0 e 1, vediamo che le due categorie analizzate ottengono gli stessi risultati in entrambi i casi, gli insuccessi ad esempio sono di poco superiori alla metà.

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

L’errore più frequente è riconducibile ad una visione solo bidimensionale della figura poiché disegnano due strati di 4 cubetti collegati da 4 pioli ciascuno, si coglie la difficoltà del passaggio alla tridimensionalità dato che non riescono a capire che i due strati vanno sovrapposti e servono altri 4 pioli. Un altro errore nelle tre categorie è quello di unire i cubetti a due a due e formare un parallelepipedo che chiamano “…. cubo più grande perché formato da 8 cubetti più piccoli …….” quindi per questi ragazzi il cubo non ha più 6 facce uguali quadrate.

(figures elab. 05019 Elab 06150)

Un altro errore è quello di voler trovare una soluzione aritmetica a tutti i costi utilizzando i numeri presenti con operazioni varie, perdendo di vista l’obiettivo.

Chi ha risolto il problema con successo ha seguito nella maggior parte dei casi una procedura grafica, l’utilizzo della quale gli ha consentito una visualizzazione più chiara degli elementi in gioco nel problema.

(figure Elab. 07069)

Gli altri hanno risolto il problema secondo quanto previsto nell’analisi a priori, infatti parlano di 2 strati di 4 cubetti ciascuno che sono collegati da 4 pioli (aiutati dal disegno) ma rimangono da collegare i due strati con altri 4 pioli. Fra i successi parecchi elaborati hanno usato un modellino tridimensionale per risolvere il problema .

(figure Elab. 07081)

Anche fra gli insuccessi (punteggio 0, 1) si registra l’uso del metodo grafico ciò nonostante non giungono a giusta soluzione perché alcuni trovano il numero dei pioli, ma non riescono a capire quante facce forate ha un cubo, altri invece non capiscono che due cubetti sono uniti da un piolo soltanto.

Indicazioni didattiche

Non è un problema di partenza per affrontare il cubo perché si aggiunge la difficoltà di padroneggiare le proprietà in quanto l’alunno deve realizzare un cubo più grande con facce esterne prive di fori, costituito da altri 8 cubetti con facce adiacenti, forate e collegate da elementi di congiunzione, può essere però un buon problema per una fase di consolidamento. Pensiamo sia proponibile in una classe quinta della scuola primaria e nella scuola secondaria che però abbia già lavorato sulla visualizzazione spaziale con opportune manipolazioni e costruzione del cubo. Dall’analisi dell’errore ci sembra che forse il disegno e l’esempio proposto nel testo possa aver tratto in inganno, infatti molti alunni hanno considerato solo le due facce forate evidenti.

Questo problema può essere proposto in classe rispettando alcune condizioni:

A queste condizioni il problema può diventare un eccellente occasione per percepire le relazioni dentro una struttura a 3 dimensioni e descrivere, quindi rinforzare le conoscenze spesso ancora solo intuitive delle proprietà del cubo. Noi pensiamo che a 10-12 anni, il supporto di un modello materiale sia ancora necessario, persino indispensabile per permettere di risolvere il problema. Se i ragazzi manipolano gli 8 cubi, essi possono appropriarsi della struttura generale e questo fatto rappresenta un progresso nella rappresentazione mentale del modello. Poi essi dovranno ancora spiegare il loro compito e avranno senza dubbio bisogno di un disegno.

In tutti i casi il problema va adeguato al repertorio delle esperienze dei ragazzi per far sviluppare le capacità di rappresentare gli oggetti nello spazio.

Per quel che concerne le proprietà del cubo si tratterà di consolidare le conoscenze per alcuni o per altri di scoprire che lo spigolo del grande cubo misura 2 volte quello dei cubi piccoli, la superficie totale del cubo grande è quattro volte l’area totale del cubo piccolo e che il volume è 8 volte quello del cubo piccolo.

Per andare più lontano

Con i ragazzi di categoria 7 o più vecchi, il problema può essere esteso considerando un grande cubo formato da 27 piccoli cubi, sull’esterno del quale non apparirà nessun buco, e con tutte le facce che si toccano congiunte da un piolo. Tutti i cubi non avranno allora lo stesso numero di facce forate e la ricerca è senz’altro più interessante

(c) ARMT, 2011-2024