Banque de problèmes du RMT
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Calculer le nombre de cubes d'un empilement de 10 étages, le plus élevé composé d'un cube, les précédents de cubes disposés en carré avec des côtés croissants de un en un.
Observer la figure et imaginer les différents étages « complets » : un cube, sur un étage de 4 cubes disposés en carré, sur un étage de 9 cubes disposés en carré, …
Passer au cadre numérique et calculer les nombres de cubes de chaque étage : 1 ; 4 = 2 x 2 ; ; 9 = 3 x 3 ; 16 = 4 x 4 ; 25 = 5 x 5 ; … ; 100 = 10 x 10
puis calculer la somme1 + 4 + 9 + 16 + ... + 100
par étapes successives : 1 ; 5 ; 14 ; 30 ; 55 ; 81 ; 140 ; 204 ; 285 ; 385 ou directement avec une calculatrice.
cube, somme de carrés, suite
Sur 87 classes de Suisse romande ayant participé à la première épreuve du 7e RMT, les points attribués sont les suivants:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 4 | 4 (10%) | 10 (25%) | 1 (3%) | 13 (33%) | 12 (30%) | 40 | 2.48 |
| Cat 5 | 10 (21%) | 3 (6%) | 0 (0%) | 13 (28%) | 21 (45%) | 47 | 2.68 |
| Total | 14 (16%) | 13 (15%) | 1 (1%) | 26 (30%) | 33 (38%) | 87 | 2.59 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Les procédures relevées consistent à dresser la liste des 10 premiers carrés et à les additionner.
Plus des deux tiers des classes sont ainsi arrivées à la réponse correcte.
Parmi les erreurs (15%) on trouve celle « classique » consistant à considérer la suite des somme partielles des carrés comme proportionnelle à celle des nombres naturels (numéros des empilements). On calcule la somme des cinq premiers étages : 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55, puis on double pour arriver à la tour de 10 étages, ou on ne tient compte que de la suite des cubes visibles pour s’apercevoir qu’il y en a 1 au premier étage dès le haut, 4 (1 + 3) pour les deux premiers, 9 (1 + 3 + 5) pour les trois premiers et 100 (1 + 3 + 5 + … + 10) pour les dix étages de la construction demandée.
Le calcul du nombre de cubes pour la tour de dix étages ne met en œuvre que la détermination des carrés des dix premiers nombres naturels et une addition de ces termes.
Le problème devient plus intéressant lorsqu’on demande le nombre de cubes pour un empilement plus élevés, par exemple pour 20 étages, où la procédure « étage par étage » devient longue et où il faut trouver des régularités et des tehniques permettant de passer d’un terme au suivant.
On aborde ainsi la suite des carrés des nombres naturels, puis celle de la somme des carrés où chaque terme est obtenu en ajoutant au terme précédent le carré du rang du terme. (Pour la tour de 11 étages, il n’est pas nécessaire de recompter tout, il suffit d’ajouter le carré de 11 (121) à la somme précédente pour trouver 506 = 385 + 121
La situation peut servir d’exemple pour l’approche de nouvelles fonctions (sur l’ensemble des nombres naturels) et pour le calcul littéral.
En effel, la somme des n premiers carrés des nombres naturels est donnée par la fonction n –> n(n + 1)(2n + 1)/6
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