Banque de problèmes du RMT
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Déterminer le nombre de morceaux de sucre d’une boîte pleine, d’après une photo de la boîte ouverte où il manque des morceaux et où l’on peut percevoir la structure 3 x 4 x 5.
- "Voir" que la figure donnée est une photo d'un objet familier: une boîte où les sucres qui restent sont encore rigoureusement alignés et que les espaces vides sont laissés par les sucres déjà pris.
- Repérer les alignements et distinguer les 3 niveaux, les 4 sucres dans la largeur et les 5 sucres dans la longueur qui permettront de reconstituer l'ensemble des sucres lorsque la boîte est pleine.
- Effectuer les calculs: soit en déterminant le nombre de sucres de la première couche, soit de la dernière rangée complète, soit de la rangée de gauche presque complète, à multiplier par le nombre de couches ou de rangs; ou encore par le produit des trois nombres 3, 4 et 5.
- Les savoirs mobilisés sont l'addition et la multiplication de nombres naturels élémentaires, précédées d'une perception claire des alignements des objets dans l'espace à trois dimensions à partir d'une photo (à deux dimensions).
comptage, dénombrement, addition, multiplication, visualisation dans l'espace
points attribués pour la section SR
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 1 (6%) | 1 (6%) | 5 (28%) | 9 (50%) | 2 (11%) | 18 | 2.56 |
| Cat 4 | 1 (4%) | 1 (4%) | 1 (4%) | 3 (12%) | 19 (76%) | 25 | 3.52 |
| Total | 2 (5%) | 2 (5%) | 6 (14%) | 12 (28%) | 21 (49%) | 43 | 3.12 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
La très grande majorité des procédures s'appuient sur les 20 sucres de la base et 3 couches. Le "20" est déterminé par comptage sur un rectangle de 4 sur 5 ou par l'opération 4 x 5; dans quelques cas seulement par additions successives. Les opérations notées le plus souvent sont du genre 4 x 5 = 20, suivi de 20 x 3 = 60.
Le facteur 3 (la profondeur) est très souvent répété sur le dessin de la boîte ou sur le rectangle de 20 cases (4 x 5), comme dans l’exemple suivant (cat 3):
Il y a 60 sucres parce que 3 en largeur et 4 en longueur. Et ça donne … sucres. En tout il y a 60 sucres
On trouve quelques procédures aboutissant aux calculs 5 x 12 ou 3 x 4 = 12 suivi de 12 x 5 = 60 ou encore 3 x 4 x 5 = 60 ou 5 x 4 x 3 = 60 et même 6 x 10 = 60 ne permettant pas de connaître l'ordre du comptage ni leur déroulement spatial.
Les réponses différentes de 60 sont dues à des erreurs dans le dénombrement des rangs, par exemple 4 x 4 au lieu de 4 x 5. mais le plus souvent à une procédure de comptage des sucres qui manquent et de ceux qui sont restés dans la boîte ( dont les nombres exacts ne peuvent évidemment pas être déterminés sur la photo).
Selon le tableau des résultats, La boîte de sucres n'est plus un "vrai problème" pour des élèves de catégorie 4 qui maîtrisent déjà tous les savoirs et compétences nécessaires à sa résolution.
Il est cependant possible de l'exploiter, lors d'une mise en commun, sur les écritures et les propriétés des opérations.
Par exemple, à partir de la copie suivante (cat 3):
4 x 5 = 20, 20 x 3 = 60
J'ai fait les côtés (4 x 5) + profondeur (20 x 3)
on peut imaginer une discussion sur le sens attribué à chacun des différents nombres de ces écritures.
Un autre exemple (cat 4) montre une maîtrise remarquable, pour de jeunes élèves, du sens donné aux différents nombres en jeu. Le schéma qui accompagne leur explication est très clair :
Comme c'était un volume il y avait l'épaisseur la longueur et la profondeur, la largeur de la boîte était de 4 sucres et la longueur était 5 et la profondeur était de trois sucres alors il fallait multiplier 5 x 4 = 20 puis 20 x 3 = 60 et la réponse était 60.
Voir aussi Gourmandises (21.I.01)
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