Banque de problèmes du RMT
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Compléter le développement d’une pyramide. Données : base (rectangle) et trois faces (un des triangles est rectangle, avec un des côtés de l’angle doit sur la base). Dessiner le solide vu de dessus.
- Imaginer mentalement la construction de la pyramide par pliage selon les arêtes : les trois faces triangulaires qui se relèvent et concourent sur le sommet de la pyramide, laissant encore un trou. Ou découper effectivement le patron non terminé et plier les trois faces données pour se rendre compte des caractéristiques du « trou » triangulaire.
- Comprendre alors que certains côtés de triangles sont de même longueur puisqu’ils deviennent communs lorsque la pyramide est construite.
- En déduire que le quatrième triangle a un côté sur la largeur du rectangle, un côté égal à son voisin du triangle supérieur et l’autre égal à son voisin du triangle de droite. (a et b sur la figure 1)
- Construire ce dernier triangle par report des côtés au compas ou par mesurage et constater qu’il est rectangle, avec un angle doit sur la base (comme le triangle de gauche).
- Imaginer ou effectuer les mouvements des sommets des triangles lorsqu’on passe du patron à la réalisation de l’objet en trois dimensions, lorsque la base reste dans un plan horizontal (souvent le plan de la feuille posée sur la table) : les sommets des triangles rectangles de gauche et de droite restent dans le plan vertical contenant une arête de la base ; ils se retrouveront donc au-dessus de cette arête, la position sur l’arête pouvant être déterminée par le plan dans lequel se déplacent les deux sommets des autres faces. Comprendre alors qu’on ne voit que trois faces de la pyramide lorsqu’on la regarde du haut.
- Expliquer comment a été construit le quatrième triangle et dessinez la pyramide vue de dessus, soit par estimation visuelle ou par construction géométrique (Voir figure 2)
pyramide, développement
Sur 2205 classes de 22 sections ayant participé à la première épreuve du 19e RMT, les points attribués sont les suivants:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 379 (42%) | 195 (21%) | 176 (19%) | 108 (12%) | 51 (6%) | 909 | 1.18 |
| Cat 7 | 180 (24%) | 135 (18%) | 177 (23%) | 153 (20%) | 113 (15%) | 758 | 1.85 |
| Cat 8 | 90 (17%) | 72 (13%) | 110 (20%) | 127 (24%) | 139 (26%) | 538 | 2.28 |
| Total | 649 (29%) | 402 (18%) | 463 (21%) | 388 (18%) | 303 (14%) | 2205 | 1.68 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon le tableau ci-dessus, il y a une augmentation très sensible des moyennes de points obtenus, de la catégorie 6 (m = 1,2) aux catégories 7 et 8 (m = 1,8 et m = 2,3).
L’âge des élèves est un des facteurs qui permet d’expliquer cette augmentation tout à fait significative.
Sur environ 300 copies:
Les copies ayant obtenu « 4 point » correspondent à la description du critère « 4 » avec, pour la vue de dessus, le sommet placé au mm près sur le côté du rectangle de base (exigence non prévue dans les critères, mais qui s’est révélée nécessaire au vu des résultats) ; sans tenir compte toutefois de la méthode de construction. Certaines fois les élèves l’ont déterminé à l’intersection du côté du rectangle et de la droite reliant les deux sommets des faces triangulaires du développement (voir exemple ), d’autres fois, ils ont mesuré la distance entre le pied de la hauteur de la face verticale et le sommet du rectangle (voir exemple ) ; d’autres fois encore on suppose qu’il y a eu une mesure ou une estimation précise, sans pourvoir l’affirmer. Comme la demande de l’énoncé n’exigeait pas d’explications sur la construction de ce point, ces dernières copies ont été notées au bénéfice du doute.
Les « 3 points » ont été attribués, dans presque tous les cas, aux copies qui donnent la réponse « 3 faces » avec le dessin correspondant de la vue de dessus, mais où le sommet est manifestement mal placé. Il n’y a jamais d’explications sur sa construction dans ces cas-là, même si les élèves ont précisé que la face non visible est verticale.
Le critère « 2 points » a été respecté. Il y a parmi ces copies, des non-réponses à la seconde question du problème, sans qu’on puisse déterminer s’il s’agit d’un simple oubli ou d’une incompréhension.
La plupart des « 1 point » correspondent à un dessin très imprécis de la quatrième face, combinée avec des dessins tout à fait fantaisistes de la pyramide vue du dessus.
Il y a beaucoup de « 0 point » en catégorie 6 (près d’un tiers) mais aucune feuille blanche. Il s’agit de tentatives infructueuses de la construction d’un développement complet, la quatrième face, pourtant le plus souvent envisagée comme un triangle, ne permet pas de « fermer » le solide. Les élèves qui ont produit ces dessins se sont heurtés à l’obstacle de la conceptualisation de la figure manquante dans le plan permettant de devenir une face d l’objet de l’espace, malgré un découpage effectif. (voir Exemple 1, en bibliographie I)
Il faudrait à ce propos observer les élèves pour mieux déterminer leurs difficultés. A ce stade de l’analyse a posteriori, on ne peut qu’émettre des hypothèses :
Ont-ils fait vraiment replié les faces pour valider leur construction du développement ? Ont-ils fait plusieurs essais ? Ont-ils été perturbés par le fait que la pyramide proposée est différente du modèle traditionnel de pyramide à base carrée dont les quatre faces sont des triangles isocèles, voir équilatéraux, (trois copies proposent une quatrième face isocèle) ?
Pour déterminer la quatrième face, une moitié des copies des classes de catégorie 6 témoignent d’une approche par construction effective : on relève des maquettes en papier découpées et collées sur les feuilles et, lorsqu’elles ne sont pas annexées, des références explicites à leur construction. Pour l’autre moitié, il n’y a pas d’indications permettant de savoir si la pyramide a effectivement été construite. Cette proportion diminue légèrement pour les degrés plus élevés.
Les commentaires qui font état de cette première approche, par construction effective, montrent qu’il ne suffit pas de découper et plier, le développement mais qu’il faut ensuite prendre en compte les caractéristiques du « trou » pour arriver au développement complet, en l’appliquant par exemple sur une feuille et en reportant son contour. . (voir Exemples 2 à 5, en bibliographie ou en compléments ? L’intérêt et l’importance de la manipulation et de la modélisation apparaît dans des approches que l’on pourrait qualifier d’intermédiaires, pour faciliter le passage de l’objet concret à la figure géométrique plus abstraite, . (voir Exemple 7, en bibliographie I)
La construction de la quatrième face triangulaire est effectuée « au compas » dans la majorité des cas, mais surtout en catégories 7 et 8. (voir exemples 7 à 10 , en bibliographie I)
Les élèves de catégorie 6 travaillent plus souvent par report des mesures prises à la règle (sur le développement donné) et ajustements Il y a d’autres manières de construire le triangle, par report ou par mesurage sur l’objet effectivement construit par découpage, pliage et collage : les élèves font apparaître le triangle manquant dans la maquette et prennent les mesures sur l’objet. Les mesures relevées ainsi sont très approximatives en raison du manque de rigidité de la construction. Il semble qu’ils ne se rendent pas compte que ces trois mesures peuvent déjà être prises sur la figure. (voir exemples 2 et 3 et 11 à 13 , Pour le dessin de la pyramide, vue de dessus, les élèves de catégories 7 et 8 répondent qu’ils voient trois faces de la pyramide, dans la majorité des cas. Une partie la justifient par la présence de faces qui sont des triangles rectangles. Ils conçoivent donc que, lors du relèvement de ces faces, à partir du développement pour former le solide en trois dimension, une de leurs arêtes ou le sommet mobile se déplacent dans un plan vertical. D’autres disent que le sommet se situe au-dessus d’un côté du rectangle de la base. D’autres encore, près de la moitié, se contentent de répondre que « trois faces sont visibles), vraisemblablement, en s’appuyant vraisemblablement sur leur vision de l’objet.
Pour la détermination de l’emplacement du sommet dans cette projection horizontale, lorsqu’elle est précisée, les copies examinées font apparaître deux méthodes :
En catégorie 6, on relève encore de nombreux croquis ou esquisses, à main levée, non considérés encore comme des figures géométriques mais comme des objets de l’environnement réel de l’élève, par des représentations encore « enfantines ».
La procédure de manipulation n’est pas si élémentaire qu’il n’y paraît et il ne faut pas négliger cette aide pour les élèves qui en ont besoin. Si certains ont besoins de découper construire l’objet incomplet et « décalquer » le « trou » sur une feuille pour se rendre compte que la face manquante est un triangle, c’est vraisemblablement parce qu‘ils ne maîtrisent pas encore le passage de l’objet réel à son développement en tant que figure géométrique du plan. Lorsqu’ils n’ont plus besoin de recourir à la manipulation, les élèves font appel à l’imagination, à l’esquisse des mouvements qui permettent de passer du développement dans le plan à la figure de l’espace, la visualisation des faces qui se déplacent et qui se retrouvent dans des positions différentes tout en ayant conservé leurs dimensions (isométries) sont une des tâches essentielles pour accéder aux figures en trois dimensions. D’autres élèves sont capables, selon leurs explications, de déterminer la quatrième face par une démarche déductive du genre : « on sait qu’il s’agit d’un triangle, qu’un de ses côtés est sur la commun à l’un des côtés du rectangle de base, que les deux autres sont isométriques aux côtés correspondants des faces adjacentes … ». Pour atteindre ce niveau de justification, il faut que l’élève ait pu construire ses connaissances sur la pyramide par de nombreuses pratiques et expérimentations au niveau des « stades » précédents : les manipulations, puis l’imagination des déplacements. On ne peut pas imaginer que ces connaissances s’acquièrent d’une manière différente ou soient « enseignées ».
A propos de la construction du triangle, il faut relever que le report au compas fait appel à la rotation et à la conservation des longueurs, propriétés liées au cercle et non encore opératoires pour de nombreux élèves de degré 6. En effet, alors que les procédures par arcs de cercle sont nettement majoritaires en catégories 7 et 8, les élèves de catégorie 6 travaillent le plus souvent par report des mesures prises à la règle et ajustements.
Remarque : « Être capable de construire un triangle dont les mesures des côtés sont données » est une compétence figurant dans la plupart des programmes scolaires. Pour la faire acquérir aux élèves, on peut montrer comment faire par une leçon ou par des exemples, proposer une recherche de la méthode la plus efficace à partir de son énoncé … ; dans le problème Pyramide irrégulière, cette compétence est introduite par la situation en réponse à une nécessité et non par une demande de l’enseignant ou d’un énoncé d’exercice.
A la demande de l’énoncé « Dessinez la pyramide, comme la voit Jules, vue du dessus … » les élèves des catégories 7 et 8 dessinent, dans la grande majorité des cas, le rectangle de base qu’ils complètent par les segments représentant les autres arêtes du solide. Ils semblent ainsi percevoir cette construction comme celle d’une figure géométrique, la « projection horizontale ». En catégorie 6, en revanche, on relève encore de nombreux croquis ou esquisses, à main levée, considérés comme des « dessins » de l’objet. Ces représentations cherchent à faire apparaître, les faces, sommets et arêtes selon leurs caractéristiques « topologiques » (voisinages, disposition des intersections ou parties communes) ou mais sans prendre en compte les caractéristiques affines (parallélisme, lignes droites) ou métriques (distances et angles) de la projection.
C’est à cet âge que le dessin de l’objet de l’espace peut évoluer vers une projection » qui est une figure géométrique du plan avec ses caractéristiques habituelles.
Article Analyse a posteriori de « Pyramide irrégulière » (F. Jaquet, à paraître dans la Gazette de Transalpie)
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