Banque de problèmes du RMT
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Déterminer le nombre de briques (parallélépipèdes rectangles) identiques contenues dans une boîte pleine – aussi en forme de brique- d’après une photo de la boîte transparente où il manque des briques et où l’on peut perçoit la structure 3 × 4 × 5.
- Voir que la figure donnée est une photo d'un objet familier: une boîte où les chocolats qui restent sont encore rigoureusement alignés et que les espaces vides sont laissés par les chocolats déjà pris.
- Repérer les alignements et distinguer les 3 niveaux, les 4 chocolats dans la largeur et les 5 chocolats dans la longueur qui permettront de reconstituer l'ensemble lorsque la boîte était pleine.
- Il y a plusieurs manières de calculer ou compter les chocolats : pour la boîte pleine, par multiplications 4 x 5 = 20 suivie de 20 x 3 = 60 ; pour les chocolats mangés par comptage des espaces libres ou par comptage des chocolats qui restent (37) puis par soustraction 60 – 37 = 23. Ces comptages peuvent s’effectuer de différentes manières, par couches, par blocs, …
- Les savoirs mobilisés sont l'addition, la soustraction et la multiplication de nombres naturels élémentaires, précédées d'une perception claire des alignements des objets dans l'espace à trois dimensions à partir d'une photo (à deux dimensions).
visualisation spatiale, dénombrement, nombre naturel, addition, multiplication, volume, parallélépipède rectangle
Points attribués sur 799 classes de 18 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 48 (13%) | 103 (29%) | 72 (20%) | 69 (19%) | 64 (18%) | 356 | 1.99 |
| Cat 4 | 29 (7%) | 63 (14%) | 116 (26%) | 95 (21%) | 140 (32%) | 443 | 2.57 |
| Total | 77 (10%) | 166 (21%) | 188 (24%) | 164 (21%) | 204 (26%) | 799 | 2.32 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Il y a très peu d’erreurs dans la détermination du nombre de chocolats de la boîte pleine. Dans la grande majorité des cas, les calculs 4 x 5 = 20 suivis de 20 x 3 = 60 montrent que l’organisation du dénombrement s’est déroulée par couches, le facteur 3 (nombre de couches) facilement perceptible, se distingue des deux autres.
Exemple 1 (cat 4)
Nous avons fait trois fois ce calcul 4 x 5 = 20 le total est de 60 ensuite nous avons compté combien de chocolats il restait 37 chocolats Nous avons fait 60 – 37 cela nous a donné le résultat. 23 chocolats.
Exemple 2 (cat 4), avec les deux multiplications mentionnées précédemment et une représentation des 20 nombres de chocolats, pile par pile.
Il y avait 60 chocolats. Ils ont mangé 23 chocolats
De très rares copies montrent les comptages séparés des chocolats qui restent (37) et des chocolats mangés (23) pour déterminer le nombre de chocolats de la boîte pleine.
Exemple 3(cat 4)
Les erreurs les plus fréquentes sont dues aux comptages des chocolats manquants ou restants dans la boîte.
Par une addition R + M = T ou M + R = T. Par des soustraction T – R = M ou T – M = R
Pour les élèves ces relations sont verbales et se déroulent dans le temps, avec du sens et des représentations visuelles des trois quantités de chocolat.
Un autre intérêt est l’approche du concept de volume (en unité «chocolat») et de son calcul par les produits (4 x 5) x 3 ou (3 x 4) x 5 ou (3 x 5) x 4. (La première écriture apparaît dans la grande majorité des copies, les deux dernière sont moins fréquentes). Les représentations visuelles correspondantes - « chocolats de la couche inférieure et 3 couches » ou « chocolats de la paroi du fond répétés 5 fois » … - sont trois regroupements différents qui amènent au même nombre total de chocolats, permettant d’aborder l’associativité de la multiplication :
(4 x 5) x 3 = (3 x 4) x 5 = (3 x 5) x 4 = 3 x 4 x 5
Voir aussi La boîte de sucre (05.I.03)
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