Histoire de cubes

Identification

Rallye: 15.I.13 ; catégories: 7, 8 ; domaines: 3D, OPN
Familles:

• DCP - Décomposer un nombre naturel
• LAV - Utiliser des longueurs, surfaces et volumes dans l'espace
• LAV/OA - Traiter des situations arithmétiques dans un contexte géométrique
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/VOL - Déterminer des aires et/ou périmètres et/ou volumes

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Résumé

Déterminer le plus grand nombre cubique inférieur à 220 et décomposer ce nombre sous la forme d'une somme de nombres cubiques différents (dans un contexte de construction de cubes).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Savoir que si k est le nombre de petits cubes disposés sur une arête d’un cube, le nombre total des petits cubes qui forment le cube est k x k x k = k3.

- Considérer alors la séquence des premiers nombres naturels 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... et écrire leurs cubes respectifs : 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, ... et s’arrêter à 220. En déduire que le cube de Philippe est composé de 216 (63) petits cubes.

- Comprendre que Anne, pour pouvoir réaliser des cubes différents, ne peut pas en construire seulement deux, parce que les choix possibles se font parmi les cubes de 125, 64, 27, 8 et 1 petits cubes : 216 – 125 = 91, 216 – 64 = 152, 216 – 27 = 189, 216 – 8 = 208, 216 – 1 = 215 ne sont pas des nombres cubiques.

- Observer qu’Anne doit construire au moins 3 cubes et trouver (par essais) que l’unique possibilité d’obtenir 216 comme somme de trois nombres cubiques est 125 + 64 + 27.

- Conclure alors qu’Anne a construit 3 cubes d’arêtes respectives 5cm, 4cm, 3cm.

- Remarquer que, avec plus de 3 cubes, il n’est pas possible de respecter la contrainte des cubes tous différents (déjà avec 4 des cinq nombres possibles (1, 8, 27, 64, 125) on ne peut obtenir 216 sans répétition).

Notions mathématiques

opération, nombre naturel, volume, cube

Résultats

14.I.13

Points attribués sur 77 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les quatre réponses correctes (216 cubes et 3 cm, 4 cm et 5 cm) avec justifications claires et précises
• 3 points: Les quatre réponses correctes sans justifications claires
• 2 points: Réponse 216 et décomposition 216 = 27 + 64 + 125 sans autre justification
• 1 point: Début correct de recherche, ou décomposition de 216 qui ne tiennent pas compte de la contrainte des cubes tous différents. (par exemple : 27 x 8, 64 x 3+ 8 x 3, ...)
• 0 point: Incompréhension du problème