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Banque de problèmes du RMT3d27-fr |
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Déterminer le plus grand nombre cubique inférieur à 220 et décomposer ce nombre sous la forme d'une somme de nombres cubiques différents (dans un contexte de construction de cubes).
Analyse a priori de la tâche:
- Savoir que si k est le nombre de petits cubes disposés sur une arête d’un cube, le nombre total des petits cubes qui forment le cube est k x k x k = k3.
- Considérer alors la séquence des premiers nombres naturels 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... et écrire leurs cubes respectifs : 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, ... et s’arrêter à 220. En déduire que le cube de Philippe est composé de 216 (63) petits cubes.
- Comprendre que Anne, pour pouvoir réaliser des cubes différents, ne peut pas en construire seulement deux, parce que les choix possibles se font parmi les cubes de 125, 64, 27, 8 et 1 petits cubes : 216 – 125 = 91, 216 – 64 = 152, 216 – 27 = 189, 216 – 8 = 208, 216 – 1 = 215 ne sont pas des nombres cubiques.
- Observer qu’Anne doit construire au moins 3 cubes et trouver (par essais) que l’unique possibilité d’obtenir 216 comme somme de trois nombres cubiques est 125 + 64 + 27.
- Conclure alors qu’Anne a construit 3 cubes d’arêtes respectives 5cm, 4cm, 3cm.
- Remarquer que, avec plus de 3 cubes, il n’est pas possible de respecter la contrainte des cubes tous différents (déjà avec 4 des cinq nombres possibles (1, 8, 27, 64, 125) on ne peut obtenir 216 sans répétition).
opération, nombre naturel, volume, cube
Points attribués sur 77 classes de Suisse romande:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
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Cat 7 | 2 (5%) | 7 (18%) | 15 (38%) | 8 (20%) | 8 (20%) | 40 | 2.33 |
Cat 8 | 1 (3%) | 8 (22%) | 12 (32%) | 7 (19%) | 9 (24%) | 37 | 2.41 |
Total | 3 (4%) | 15 (19%) | 27 (35%) | 15 (19%) | 17 (22%) | 77 | 2.36 |
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
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