Banque de problèmes du RMT
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Des pyramide sont construites sous la forme de plates-formes toujours plus grandes à partir d’un petit cube gris, en l’entourant alternativement d’une bordure de petits cubes blancs puis d’une bordure de petits cubes gris. Calculer la différence entre le nombre de petits cubes de chaque couleur pour une pyramide à 5 étages et une pyramide à 11 étages.
- Considérer le nombre de cubes blancs et gris par étage et construire le tableau suivant :
Conclure que dans une pyramide à 5 étages, la différence G - B est 5 et dans une à 11 étages, la différence est 11
Ou ; trouver le même résultat en travaillant "verticalement" sur la pyramide : une pyramide à n étages a au centre n cubes gris avec autour 8 (n-1) des cubes blancs, avec autour 16 (n-2) cubes gris, avec autour 24 (n-3) cubes blancs, etc...
Ou : se rendre compte que, sans compter la colonne centrale de cubes gris, dans les divers étages, nous avons la distribution suivante :
- Découvrir que chaque bordure en plus ajoute un nombre de cubes multiple de 8. Déduire que la différence pour chaque étage entre les Blancs et les Gris (toujours sans considérer la colonne centrale) est
Deuxième étage B–G=8; Troisième étage B– G=-8 ; Quatrième étage B–G =16 ; Cinquième B – G = - 16 ; etc...
- Déduire que, toujours pour les bordures ajoutés, la différence B – G est égale à la somme algébrique des différences dans les divers étages, ainsi pour
deux niveaux, différence 8 ; trois niveaux, différence 0 ; quatre niveaux, différence 16 ; cinq niveaux, différence 0 .... pour n étages, avec n pair, la différence est 8n; pour n étages, avec n impair, la différence est 0.
- Calculer les cubes gris de la colonne centrale et conclure qu'au n-ième étage la différence G – B est n et donc dans une pyramide de 5 étages G–B = 5 pendant que dans une de 11, G–B=11.
somme, multiplication, suite, vision dans l’espace, régularité des constructions
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