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La formica sulla lattina

Identificazione

Rally: 21.F.18 ; categorie: 9, 10 ; ambito: 3D
Famiglie:

Sunto

Calcolare la lunghezza del percorso più breve lungo la superficie laterale di un cilindro retto; il percorso collega un punto della circonferenza della base inferiore con l’estremità opposta del diametro corrispondente della base superiore.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

Ambito concettuale

- Geometria: lunghezza della circonferenza, superficie laterale del cilindro, teorema di Pitagora, relazione triangolare

Analisi del compito

- Comprendere la situazione in cui la formica si può muovere: lungo la superficie laterale e lungo le circonferenze delle due basi.

- Comprendere che la formica non può andare da A a B in linea retta (percorso di lunghezza 10 cm) perché questo equivarrebbe ad “entrare” nella lattina.

- Per studiare i percorsi più brevi lungo la superficie laterale del cilindro, considerare lo sviluppo sul piano di tale superficie: si ottiene un rettangolo avente come base la circonferenza e come altezza l’altezza del cilindro:

- Capire che il cammino più breve lungo la superficie del cilindro è il cammino il cui sviluppo sul piano è il segmento AB, infatti se la formica salisse fino ad un punto D, situato fra A e B sulla circonferenza e poi proseguisse lungo l’arco DB, il percorso AD + DB sarebbe maggiore di AB, per la relazione triangolare.

- Per calcolare la misura di AB si applica il teorema di Pitagora. Il tratto CB è metà circonferenza, e quindi misura 4 (in cm); il segmento AC misura invece 6 cm. Il cammino più breve è pertanto lungo: √[(4π)2 + 36] ± 13,9 (in cm).

Nozioni matematiche

circonferenza, area, cilindro, teorema di Pitagora

Risultati

21.F.18

Punteggi attribuiti su 40 classi di 7 sezioni:

Categoria	0	1	2	3	4	Nb.classi	Media
Cat 9	4 (18%)	3 (14%)	3 (14%)	1 (5%)	11 (50%)	22	2.55
Cat 10	6 (33%)	3 (17%)	0 (0%)	0 (0%)	9 (50%)	18	2.17
Totale	10 (25%)	6 (15%)	3 (8%)	1 (3%)	20 (50%)	40	2.38
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondi i criteri determinati nell’analisi a priori :

4 punti: Risposta corretta: con spiegazione completa (descrizione del percorso e calcolo della lunghezza: circa 13,9 cm)
3 punti: Risposta corretta con spiegazione incompleta (ad esempio mancata citazione dello sviluppo o della relazione triangolare)
2 punti: Risposta errata dovuta ad un errore di calcolo o di approssimazione con spiegazione
oppure solo la lunghezza del percorso più breve, senza spiegazione
1 punto: Inizio di ragionamento corretto, con almeno un tentativo di determinare la lunghezza di un percorso sulla superficie laterale del cilindro
0 punto: Incomprensione del problema o risposta 14 cm

Banca di problemi del RMT