La boîte de Nelly

Identification

Rallye: 16.I.17 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: 3D, OPN
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/PY - Utiliser une relation classique
• VS - Visualiser dans l'espace
• VS/OA - Compter ou dénombrer des objets

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer les dimensions entières d'un parallélépipède rectangle dont la grande diagonale mesure 15 cm.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Dessiner une représentation plane du parallélépipède (ou s'appuyer sur une représentation mentale, ou travailler sur un modèle à trois dimensions).

- Reconnaître des triangles rectangles qui permettent de calculer la longueur de la grande diagonale et pour cela, faire apparaître la diagonale d'une face et une arête.

- Utiliser la relation entre la longueur d’une grande diagonale et les longueurs des trois arêtes par l’application du théorème de Pythagore, répétée deux fois de suite (une première fois pour obtenir la diagonale d’une face du PR, d² = a² + b² ou plutôt d = √(a² + b²) et la seconde pour obtenir la grande diagonale qui relie deux sommets opposés du PR),pour aboutir à une relation du type 15² =d² +c² =a² +b² +c²

- Autre manière de faire : utiliser directement l’application de la relation dans le PR, donnée par la formule précédente, avec a, b, c, d entiers ;

- Rechercher toutes les manières de décomposer 225 = 15² en sommes de trois carrés de nombres entiers. Utiliser une procédure méthodique, par exemple celle qui consiste à considérer successivement tous les carrés de 14, 13, 12, ... , 9 comme premier des trois termes (82 ne peut être le plus grand car 3 x 64 = 192 < 225), calculer la différence à 225 (ce qui donne la liste 29, 56, 81, 104, 125, 144) et vérifier si cette différence est elle-même une somme de deux carrés.

On arrive ainsi à

  225 = 196 +  29 = 196 + 25  + 4   solution 14, 5 et 2 
  225 = 121 + 104 = 121 + 100 + 4   solution 11, 10 et 2
  225 = 100 + 125 = 100 + 100 + 25  solution 10, 10 et 5

Notions mathématiques

somme de carrés, racine carrée, parallélépipède rectangle, théorème de Pythagore

Résultats

16.I.17

Points attribués sur 35 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les 3 solutions (14, 5, 2 ; 11, 10, 2 ; 10, 10, 5) avec explications
• 3 points: Les 3 solutions sans explications ou 2 solutions avec explications
• 2 points: Deux solutions sans explications ou une solution avec explications (une relation du type d² = a² + b² + c² a été établie)
• 1 point: Tentative et organisation de la recherche, mais la relation permettant de résoudre le problème n'est pas totalement établie
• 0 point: Incompréhension du problème

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