La scatola di Nelly

Identificazione

Rally: 16.I.17 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: 3D, OPN
Famiglie:

• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/PY - Utilizzare una relazione classica
• VS - Visualizzare nello spazio
• VS/OA - Contare oggetti nello spazio

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Sunto

Trovare le possibili dimensioni di un parallelepipedo rettangolo data la sua diagonale (15 cm) sapendo che le lunghezze degli spigoli sono numeri interi.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Elaborare una rappresentazione piana del parallelepipedo (o appoggiarsi su una rappresentazione mentale, o lavorare su un modello a tre dimensioni).

- Riconoscere un triangolo rettangolo che permetta di calcolare la lunghezza di una delle diagonali del parallelepipedo e per fare ciò evidenziare la diagonale di una faccia e uno spigolo.

- Utilizzare la relazione tra la lunghezza di una diagonale del parallelepipedo e le lunghezze dei tre spigoli mediante l’applicazione del teorema di Pitagora, ripetuta due volte di seguito (una prima volta per ottenere la diagonale di una faccia del parallelepipedo, d² = a² + b² oppure d = √(a2 + b2) e la seconda per ottenere la diagonale (che collega due vertici opposti del parallelepipedo), per arrivare ad una relazione del tipo 15² = d² + c² = a² + b² + c².

- Altro modo di procedere: utilizzare direttamente l’applicazione della relazione nel parallelepipedo, data dalla formula precedente, con a, b, c, d interi;

- Cercare i modi di scomporre 225 = 15² nella somma di tre quadrati di numeri interi. Utilizzare un procedimento metodico, per esempio quello che consiste nel considerare successivamente tutti i quadrati di 14, 13, 12 , ... , 9 come primo dei tre termini, (8² non può essere il più grande perché 3 x 64 = 192 < 225), calcolare la differenza a 225 (cosa che dà la lista 29, 56, 81, 104, 125, 144) e verificare se questa differenza è anch’essa la somma di due quadrati.

Si arriva così a

  225 = 196 + 29 = 196 + 25 + 4  soluzione 14, 5 e 2 
  225 = 121 + 104 = 121 + 100 + 4 soluzione 11, 10 e 2
  225 = 100 + 125 = 100 + 100 + 25 ; soluzione 10, 10 e 5

Nozioni matematiche

somma di quadrati, radice quadrata, parallelepipedo rettangolo, teorema di Pitagora

Risultati

16.I.17

Punteggi attribuiti sur 35 classi della Svizzera romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 punti: Le tre soluzioni (14, 5, 2; 11, 10, 2; 10, 10, 5) con spiegazione
• 3 punti: Le tre soluzioni senza spiegazione o due 2 soluzioni con spiegazione
• 2 punti: Due soluzioni senza spiegazione o una soluzione con spiegazione (è stata applicata una relazione del tipo d² = a² + b² + c² )
• 1 punto: Tentativi e organizzazione di una ricerca, ma senza aver totalmente stabilito la relazione che permette di risolvere il problema
• 0 punto: Incomprensione del problema