La scatola di Nelly

Identificazione

Rally: 16.I.17 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: 3D, OPN
Famiglie:

• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/PY - Utilizzare una relazione classica
• VS - Visualizzare nello spazio
• VS/OA - Contare oggetti nello spazio

Remarque et suggestion

Sunto

Trovare le possibili dimensioni di un parallelepipedo rettangolo data la sua diagonale (15 cm) sapendo che le lunghezze degli spigoli sono numeri interi.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Elaborare una rappresentazione piana del parallelepipedo (o appoggiarsi su una rappresentazione mentale, o lavorare su un modello a tre dimensioni).

- Riconoscere un triangolo rettangolo che permetta di calcolare la lunghezza di una delle diagonali del parallelepipedo e per fare ciò evidenziare la diagonale di una faccia e uno spigolo.

- Utilizzare la relazione tra la lunghezza di una diagonale del parallelepipedo e le lunghezze dei tre spigoli mediante l’applicazione del teorema di Pitagora, ripetuta due volte di seguito (una prima volta per ottenere la diagonale di una faccia del parallelepipedo, d² = a² + b² oppure d = √(a2 + b2) e la seconda per ottenere la diagonale (che collega due vertici opposti del parallelepipedo), per arrivare ad una relazione del tipo 15² = d² + c² = a² + b² + c².

- Altro modo di procedere: utilizzare direttamente l’applicazione della relazione nel parallelepipedo, data dalla formula precedente, con a, b, c, d interi;

- Cercare i modi di scomporre 225 = 15² nella somma di tre quadrati di numeri interi. Utilizzare un procedimento metodico, per esempio quello che consiste nel considerare successivamente tutti i quadrati di 14, 13, 12 , ... , 9 come primo dei tre termini, (8² non può essere il più grande perché 3 x 64 = 192 < 225), calcolare la differenza a 225 (cosa che dà la lista 29, 56, 81, 104, 125, 144) e verificare se questa differenza è anch’essa la somma di due quadrati.

Si arriva così a

  225 = 196 + 29 = 196 + 25 + 4  soluzione 14, 5 e 2 
  225 = 121 + 104 = 121 + 100 + 4 soluzione 11, 10 e 2
  225 = 100 + 125 = 100 + 100 + 25 ; soluzione 10, 10 e 5

Nozioni matematiche

somma di quadrati, radice quadrata, parallelepipedo rettangolo, teorema di Pitagora

Risultati

16.I.17

Punteggi attribuiti sur 35 classi della Svizzera romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 punti: Le tre soluzioni (14, 5, 2; 11, 10, 2; 10, 10, 5) con spiegazione
• 3 punti: Le tre soluzioni senza spiegazione o due 2 soluzioni con spiegazione
• 2 punti: Due soluzioni senza spiegazione o una soluzione con spiegazione (è stata applicata una relazione del tipo d² = a² + b² + c² )
• 1 punto: Tentativi e organizzazione di una ricerca, ma senza aver totalmente stabilito la relazione che permette di risolvere il problema
• 0 punto: Incomprensione del problema

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