La boîte de cubes

Identification

Rallyes: 16.II.12, 24.I.17 ; catégories: 6, 7, 8, 9, 10 ; domaine: 3D
Familles:

• VS - Visualiser dans l'espace
• VS/OA - Compter ou dénombrer des objets

Remarque et suggestion

Résumé

Calculer le nombre minimum de cubes de 1 et de 2 cm d'arête pour remplir une boîte p.r. de 13x8x7

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Se faire un modèle (concret ou mental) de la boîte et des cubes de deux dimensions.

- Se rendre compte qu’on ne peut pas remplir complètement la boîte en utilisant uniquement des cubes de 2cm d’arête, même si le calcul du volume de la boîte divisé par le volume d’un cube de 2 cm d’arête donne un résultat entier (728 : 8 = 91)

- Constater qu’on peut mettre au maximum 72 cubes de 2cm d’arête dans la boîte (6 x 3 x 4 = 72).

- Se rendre compte que pour remplir la boîte on doit ajouter des cubes sur la longueur et sur la hauteur.

- Deux méthodes sont envisageables pour trouver le nombre de cubes de 1cm d’arête : calculer le volume du parallélépipède (728 cm³) et celui occupé par les cubes de 2 cm d’arête (72 x 8 = 576 cm³), faire la différence (728 - 576) et trouver que 152 cm³ est le volume occupé par les cubes de 1cm d’arête; comprendre que 152 exprime aussi le nombre de cubes de 1 cm d’arête ;

ou bien, compter directement les cubes (p. ex. 7 x 8 + 13 x 8 – 8 = 152) en utilisant par exemple les notions de nombres pairs et impairs, à chaque mesure de longueur impaire correspond la présence de cubes d’1cm d’arête.

Notions mathématiques

visualisation dans l'espace, parallélépipède rectangle, cube, volume, minimum

Résultats

16e rallye

Résultats sur 1096 classes de 17 sections:

24e rallye

Résultats sur 960 classes de 14 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (72 cubes de 2 cm d’arête; 152 cubes de 1 cm d’arête) avec explications claires
• 3 points: Réponse correcte avec explications peu claires
  ou démarche correcte avec explications claires mais avec des erreurs de calcul (la réponse 160 pour le nombre de cubes de 1 cm d’arête est à considérer comme erreur de raisonnement et non comme simple erreur de calcul)
• 2 points: Réponse correcte pour le nombre d'un seul type de cubes avec explications claires et réponse erronée pour l'autre
• 1 point: Seulement un des deux nombres sans explications
• 0 point: Incompréhension du problème ou réponse « 91 + 0 »

Remarque: L'énoncé du problème a subi une légère modification lors de la reprise au niveau de la disposition du texte et de la police de caractères.

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Pour les catégories 8 et 9, une des stratégies les plus utilisées est de type arithmétique sans aucun dessin, utilisée dans 45% des solutions exactes (moins d'un tiers de copies), tandis que 50% de ces solutions montrent un dessin des cubes internes par étage en utilisant une représentation vue de dessus : la boîte. est divisé en couches de 2 cm de hauteur et les cubes pour chaque couche sont calculés en partant du plus grand, donc dans les 3 premières couches il y a pour chaque couche 24 cubes de 2 cm et 16 de 1 cm, donc au total 72 cubes de 2 cm et 152 cubes de 1 cm, donnés par 48 en 3 couches plus 104 dans la quatrième couche.

Les 5% de ces réponses exactes présentent un dessin en 3 dimensions des cubes internes, non pas par étages mais en sens vertical, en partant de ceux de 2 cm d'arête puis en les additionnant à ceux de 1 cm d'arête.

La plus grande difficulté qui apparaît est la confusion de la notion d'aire avec celle de volume, du carré avec le cube, donc le passage de 2 à 3 dimensions et inversement, tant au niveau des concepts que du langage utilisé.

Les erreurs

10% de non réponse;

15% de réponse 128 cubes de 1 cm, somme des 104 du dernier étage et des 24 des étages inférieurs 8 par étage au lieu de 16 et quindi 8 x 3 = 48; ne tenant pas compte de la troisième dimension.

15% de réponse 91, trouvée par l'opération 728 : 8 = 91, (volume de la boîte par le volume d'un cube de 2 cm d'arête) sans s'apercevoir la non conformité avec les dimensions de 7 et 13 des arêtes de la boîte). Cette erreur « 91 » s'est avérée encore plus fréquente que dans les catégories 6 à 8.

15% d'erreurs de calcul correspondant à un remplissage de la boîte étage par étage sur la base de schémas à deux dimensions

45% d'erreurs variées correspondant à des calculs arithmétiques confondant cubes et carrés, parallelépipèdes et rectangles, angles et arêtes, aires et volumes qui mettent en évidence de "graves incompréhensions conceptuelles” et des insuffisances dans l'usage des termes spécifiques termini specifici per i solidi.

Le plus souvent, on évite le recours à une nomenclature spécifique, les calculs montrent le manque de clarté des notions géométriques associées aux solides. Le faible niveau de connaissance de la géométrie de l'espace, révélé par le langage, se justifie alors par le fait que les raisonnements erronés les plus fréquents reposent sur l'utilisation de procédures à une ou deux dimensions et parfois aussi sur des opérations entre entités de dimensions différentes, comme comme diviser un volume par une aire pour trouver le nombre de cubes. Il existe ensuite des protocoles dans lesquels des comptes arithmétiques ayant peu de signification géométrique sont utilisés.

Un autre type d'erreur pourrait être défini comme l'erreur de l'esclave de Ménon : le cube dont l'arête mesure 2 a une aire, ou un volume, de 2 ; ou le volume de ce cube est 4. Ensuite, il y a aussi ceux qui décrivent le grand cube comme un carré de côté 4. En fait, beaucoup déclarent que 728 cubes avec 1 cm de côté ou 364 cubes avec 2 cm de bord peuvent être utilisés ou ils admettre franchement que le volume d'un cube d'arête de 1 cm est ¼ du volume du cube d'arête de 2 cm, faisant la comparaison entre les 2 volumes sur un plan (l'un de 1 petit carré et l'autre de 4 petits carrés, et présentant également un dessin).

Par ailleurs, il convient de noter que parfois un seul type de cube est utilisé, ou uniquement les petits ou uniquement les grands.

Exploitations didactiques

Ce problème peut être utilisé pour:

- améliorer la vision spatiale

- rinforzo del concetto di volume del parallelepipedo e del cubo.

Pour améliorer la compréhension, il serait utile de disposer de modèles de boîtes et de cubes. La situation se prête bien au travail en petits groupes même dans les classes de catégorie 5, 6, 7.

Nous recommandons une première phase, dans laquelle les groupes bénéficient d'une autonomie de résolution, suivie d'un partage, animé par l'enseignant, à propos des difficultés rencontrées, des stratégies utilisées et des solutions obtenues.

Une autre demande utile pour consolider la visualisation spatiale pourrait être le dessin de la boîte remplie de cubes de côtés 2 et 1 en utilisant du papier millimétré.

En renforcement de la notion de volume, nous proposons d'attribuer ce problème à la catégorie 8, suivie d'une discussion sur les difficultés rencontrées, les stratégies utilisées et les solutions obtenues.

Pour aller plus loin

In sede di sperimentazione didattica questo problema è stato assegnato a livello individuale e affidato anche alla categoria 8.

Il campione raccolto proviene dalle sezioni di Rozzano, Riva e Siena per un totale di 258 elaborati, così suddivisi Cat. 6 16, Cat. 7 17, Cat. 8 225. Per poter fare un confronto fra questi risultati individuali e quelli ottenuti in normali prove del rally, marchiamo questi con la lettera a, mentre quelli individuali con la lettera b.

  Valore medio prove   Cat.6   Cat.7   Cat.8
  Prove b              0,62    0,82    0,81
  Prove a              0,6     0,8	
  Successi (punteggi 3 e 4)
  Valore in %   Cat.6   Cat.7  Cat.8
  Prove b       9%      12%    18%
  Prove a       6%      15%	
Strategie utilizzate

  Strategie e strumenti                     Prove a  Prove b  Prove b  Prove b
                                                     Cat. 6   Cat. 7   Cat. 8
  Soluzioni aritmetiche senza disegno       45%      44%      41%      47%
  Soluzioni con disegno in piano            50%      56%      59%      38%
  Soluzioni con disegno in 3 dimensioni      5%       0%       0%      15%
Errori più frequenti

  Scambio fra 2D e 3D                       60%      50%      41%      38%
  Calcolo di un solo tipo di cubo,91 o 728  15%      15%      22%      24%
  Errori di calcolo                         15%      10%      16%      18%
  Non risponde                              10%      25%      21%      20%

Anche se il confronto fra i risultati ottenuti dalle prove del rally e quelle individuali è un poco improprio perché il numero significativo l’abbiamo solo per la categoria 8, che non partecipava al rally, comunque è sempre possibile intravedere delle indicazioni utili; il valore medio delle prove fra a e b è molto simile nelle due diverse prove, Cat. 8 totalizza 0,81 come Cat.7 nel rally 0,80, anche i successi non si discostano in modo significativo, migliorano solo un poco passando da Cat.7 a Cat.8 12% a 18%; nelle due prove si utilizzano le stesse identiche strategie di soluzione e si commettono gli stessi errori anche pesati all’incirca nella stessa quantità (c’è un piccolo miglioramento nelle prove b riguardo lo scambio fra 2D e 3D passando da Cat.6 a Cat.8) , l’unico dato che cambia sensibilmente è l’abbandono che passa dalla prova del rally, che era del 10%, alla prova individuale del 22%, quindi più che raddoppiato e distribuito quasi uniformemente fra le 3 categorie .

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