La scalota di cubi

Identificazione

Rally: 16.II.12, 24.I.17 ; categorie: 6, 7, 8, 9, 10 ; ambito: 3D
Famiglie:

• VS - Visualizzare nello spazio
• VS/OA - Contare oggetti nello spazio

Remarque et suggestion

Sunto

Calcolare quanti cubi di due diverse misure (1 e 2) servono per riempire completamente una scatola a forma di parallelepipedo di determinate dimensioni (13 x 8 x 7)

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Creare un modello, concreto o mentale, rispettando l’enunciato, necessario per arrivare alla soluzione. Il modello concreto potrebbe essere composto da una scatola le cui dimensioni rispettino quelle dell’enunciato per poi fare un assemblaggio mentale dei cubetti.

- Capire che non si può riempire la scatola con cubetti tutti di spigolo 2 cm, anche se dividendo il volume della scatola per il volume di un cubetto di 2 cm di spigolo si ottiene un numero intero (728: 8 = 91), quindi rendersi conto che per farlo si devono aggiungere dei cubi di spigolo 1 cm sia in lunghezza e sia in altezza.

- Constatare che si possono mettere al massimo 72 cubi di spigolo 2 cm nella scatola (6 x 3 x 4 = 72).

- Calcolare il volume della scatola e quello occupato dai cubetti spigolo di 2 cm e fare la differenza tra i 2 volumi e dedurre che tale differenza è il volume occupato dai cubetti di spigolo di 1 cm.

- Controllare i risultati ottenuti, rileggendo l’enunciato, per verificare se la scatola è stata riempita correttamente.

Nozioni matematiche

visualizzazione spaziale, parallelepipedo rettangolo, cubo, volume, minimum

Risultati

16.II.12 (Extrait)

Punteggi assegnati a 433 elaborati esaminati provenienti dalle sezioni di Riva, Parma, Siena

Confrontando i valori delle medie sopra riportate con quelli delle 1096 classi delle altre sezioni del RMT, si nota che i valori non si discostano in modo significativo, infatti passano da 0,6 di Cat. 6 a 0,9 di Cat. 7.

16e rallye

Punteggi attribuiti su 1096 elaborati di 17 sezioni:

Problema risultato difficile per entrambe le categorie, 6 e 7; non c’è un aumento significativo passando da categoria 6 a 7, infatti i valori medi passano da 0,6 a 0,8. Se poi per successi intendiamo riferirci ai punteggi 3 e 4, la somma dei valori medi per le due categorie raggiunge appena il 10%, dato estremamente basso.

24e rallye

Punteggi attribuiti su 960 elaborati di 14 sezioni:

Attribuzione dei punteggi secondo l’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (72 cubi di lato 2 cm; 152 cubi di lato 1 cm) con spiegazione chiara
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazione poco chiara
  oppure procedimento corretto con spiegazione chiara, ma con errori di calcolo (la risposta 160 per il numero dei cubetti piccoli è da considerare come errore di ragionamento e non come errore di calcolo)
• 2 punti: Risposta corretta per il numero di un solo tipo di cubetti con spiegazione chiara e risposta errata per l’altro
• 1 punto: Trovato correttamente uno solo dei due numeri senza spiegazione
• 0 punto: Incomprensione del problema o risposta « 91+0 »

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Dall’analisi degli elaborati risulta che una delle strategie più usate è quella aritmetica senza alcun disegno, utilizzata dal 45% delle soluzioni esatte, mentre il 50% disegna i cubi interni per piano usando una rappresentazione vista dall’alto: la scatola viene suddivisa in strati di 2 cm di altezza e vengono calcolati i cubi per ogni strato partendo dai più grandi, così nei primi 3 strati ci sono per ogni strato 24 cubi da 2 cm e 16 da 1 cm, per cui in totale 72 cubi da 2 cm e 152 cubi da 1 cm, dato da 48 in 3 strati più 104 del quarto strato.

Il 5% usa un disegno in 3 dimensioni e disegna i cubi interni non per piano ma in senso verticale, partendo da quelli da 2 cm e poi da quelli da 1 cm ed infine calcolando la somma di entrambi.

La maggior difficoltà mostrata è quella di aver scambiato il concetto di area con quello di volume, il quadrato con il cubo, quindi difficoltà nel passaggio dalle 2 alle 3 dimensioni e viceversa sia sui concetti che sul linguaggio utilizzato.

Errori

Il 10% non risponde.

Il 15% calcola 128 cubi da 1 cm sommando i 104 dell’ultimo piano con i 24 dei 3 piani sottostanti, 8 per piano invece che 16 e quindi 16x3=48; non tengono conto della terza dimensione del cubo.

Il 15% risponde 91, numero trovato con una soluzione aritmetica, 728:8=91, dato dalla divisione del volume totale della scatola e il volume di un cubo di spigolo 2; nonostante tale risoluzione sia discordante con lunghezze degli spigoli di 13 e 7 cm.

Il 15% invece sbaglia i calcoli riempiendo la scatola piano per piano usando soprattutto il disegno bidimensionale.

Il rimanente 45% si affida a vari tentativi aritmetici, scambiando cubi per quadrati, parallelepipedi per rettangoli, angoli per spigoli, area per volume mettendo quindi in evidenza “gravi misconcetti” e una carenza di termini specifici per i solidi.

Più spesso, si evita di usare una nomenclatura specifica, i calcoli mostrano la poca chiarezza dei concetti geometrici associati ai solidi. Lo scarso livello di conoscenza della geometria dello spazio, rivelato attraverso il linguaggio, si sostanzia poi nel fatto che i ragionamenti errati più frequenti si basano sulla utilizzazione di procedimenti a una o due dimensioni e talora anche con operazioni tra enti di dimensione diversa, come la divisione di un volume per un’area per trovare il numero di cubi. Vi sono poi protocolli in cui ci si avvale di conteggi aritmetici con poco significato geometrico.

Un altro tipo di errore si potrebbe definire l’errore dello schiavo di Menone: il cubo il cui spigolo misura 2 ha area, oppure volume, 2; oppure il volume di tale cubo è 4. C’è poi anche chi descrive il cubo grande come un quadrato di lato 4. Infatti tanti dichiarano che si possono usare 728 cubi da 1 cm di spigolo oppure 364 cubi da 2 cm di spigolo o ammettono candidamente che il volume di un cubo di spigolo di 1 cm è ¼ del volume del cubo di 2 cm di spigolo, facendo il confronto fra i 2 volumi su un piano (uno di 1 quadratino e l'altro di 4 quadratini,e presentando anche il disegno).

Inoltre si evidenzia che, talvolta, si utilizza solo un tipo di cubo, o solo i piccoli o solo i grandi.

Quando il problema è stato ripreso nelle categorie 9 e 10, l'errore "91" è risultato essere ancora più frequente che nelle categorie da 6 a 8.

Indicazioni didattiche

Questo problema può essere utilizzato come:

• potenziamento della visualizzazione spaziale;
• rinforzo del concetto di volume del parallelepipedo e del cubo;

Come potenziamento sarebbe utile avere a disposizione il modello di scatola e i cubi, è una proposta che si presta bene al lavoro a piccoli gruppi anche in classi di categoria 5, 6, 7.

Si consiglia una prima fase, nella quale lasciare autonomia di risoluzione ai gruppi, seguita da condivisione guidata dall’insegnante delle difficoltà incontrate, delle strategie utilizzate e delle soluzioni ricavate.

Un’ulteriore richiesta utile al consolidamento della visualizzazione spaziale potrebbe essere il disegno della scatola riempita di cubetti di spigolo 2 e 1 utilizzando la carta isometrica.

Come rinforzo del concetto di volume si pensa di assegnarlo alla cat.8, facendo seguire una discussione delle difficoltà incontrate, delle strategie utilizzate e delle soluzioni ricavate.

Per andare più lontano

Approfondimento

In sede di sperimentazione didattica questo problema è stato assegnato a livello individuale e affidato anche alla categoria 8.

Il campione raccolto proviene dalle sezioni di Rozzano, Riva e Siena per un totale di 258 elaborati, così suddivisi Cat. 6 16, Cat. 7 17, Cat. 8 225. Per poter fare un confronto fra questi risultati individuali e quelli ottenuti in normali prove del rally, marchiamo questi con la lettera a, mentre quelli individuali con la lettera b.

  Valore medio prove   Cat.6   Cat.7   Cat.8
  Prove b              0,62    0,82    0,81
  Prove a              0,6     0,8	

  Successi (punteggi 3 e 4)
  Valore in %   Cat.6   Cat.7  Cat.8
  Prove b       9%      12%    18%
  Prove a       6%      15%	

Strategie utilizzate

  Strategie e strumenti                     Prove a  Prove b  Prove b  Prove b
                                                     Cat. 6   Cat. 7   Cat. 8
  Soluzioni aritmetiche senza disegno       45%      44%      41%      47%
  Soluzioni con disegno in piano            50%      56%      59%      38%
  Soluzioni con disegno in 3 dimensioni      5%       0%       0%      15%

Errori più frequenti

  Scambio fra 2D e 3D                       60%      50%      41%      38%
  Calcolo di un solo tipo di cubo,91 o 728  15%      15%      22%      24%
  Errori di calcolo                         15%      10%      16%      18%
  Non risponde                              10%      25%      21%      20%

Anche se il confronto fra i risultati ottenuti dalle prove del rally e quelle individuali è un poco improprio perché il numero significativo l’abbiamo solo per la categoria 8, che non partecipava al rally, comunque è sempre possibile intravedere delle indicazioni utili; il valore medio delle prove fra a e b è molto simile nelle due diverse prove, Cat. 8 totalizza 0,81 come Cat.7 nel rally 0,80, anche i successi non si discostano in modo significativo, migliorano solo un poco passando da Cat.7 a Cat.8 12% a 18%; nelle due prove si utilizzano le stesse identiche strategie di soluzione e si commettono gli stessi errori anche pesati all’incirca nella stessa quantità (c’è un piccolo miglioramento nelle prove b riguardo lo scambio fra 2D e 3D passando da Cat.6 a Cat.8) , l’unico dato che cambia sensibilmente è l’abbandono che passa dalla prova del rally, che era del 10%, alla prova individuale del 22%, quindi più che raddoppiato e distribuito quasi uniformemente fra le 3 categorie .

(c) ARMT, 2008-2024