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Etoile de Noël

Identification

Rallye: 17.F.16 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: 3D
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Résumé

Une étoile est formée d'un tétraèdre (arête de 8 cm) sur chaque face duquel est collé un petit tétraèdre (arête de 4 cm). Proposer un plan de découpage d'un rectangle 16 cm x 14 cm permettant de recouvrir l'étoile.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Se rappeler qu’un tétraèdre régulier est une pyramide à 4 faces formées de triangles équilatéraux.

- Remarquer que les droites passant par les milieux des côtés d’une face du grand tétraèdre partagent celle-ci en 4 triangles équilatéraux égaux de côtés 4 cm.

- Comprendre que pour chacune des faces du grand tétraèdre, le collage d’un petit tétraèdre laisse apparents 3 petits triangles équilatéraux de 4 cm de côtés.

- Remarquer également que les faces restant visibles des petits tétraèdres collés sont formées de 3 triangles équilatéraux de mêmes dimensions.

- Dénombrer les petits triangles équilatéraux apparents : 6 pour chacune des faces du grand tétraèdre, d’où 24 en tout.

- Il s’agit de découper dans la feuille de papier décoratif donnée en 24 triangles équilatéraux de 4 cm de côté. Un pavage astucieux de cette feuille le permet, avec un plan comme le suivant par exemple :

- Pour être sûr que les 24 triangles entrent bien dans la feuille de 16 cm x 14 cm, effectuer une vérification numérique :

calculer la hauteur h d’un triangle équilatéral à partir du théorème de Pythagore
h² = 4² – 2², d’où
h = √12 ≈ 3,464, et 4 h ≈ 13,856 < 14 cm.

Notions mathématiques

géométrie 3d, tétraèdre régulier, triangle équilatéral, pavage, pythagore

Résultats

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