Un diamant pour "Guinness"

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Rallye: 17.I.19 ; catégories: 9, 10 ; domaine: 3D
Familles:

• FOR - Utiliser une formule
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/VOL - Déterminer des aires et/ou périmètres et/ou volumes

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Résumé

Calculer le volume d'un octaèdre régulier inscrit dans un cube de 10 cm d'arête, tel que chaque sommet de l'octaèdre est au centre d'une face du cube.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Observer que les arêtes ont toutes la même longueur 5 √2 cm car elles sont les côtés de carrés inscrits aux milieux des côtés des carrés médians du cube (coupes par des plans parallèles à ses faces passant par le centre, en gris sur la figure)

- En déduire que les faces du polyèdre sont 8 triangles équilatéraux, qu’il s’agit d’un octaèdre régulier (6 sommets et 12 arêtes).

- Pour calculer le volume, on peut considérer deux pyramides dont la base est le carré gris de la figure et la hauteur mesure 5 cm :

V = 2 x (1/3) x 50 x 5 = 500/3 ≈ 167 (en cm³)

Ou: observer que l’aire du carré gris est la moitié de celle d’une face du cube et que, par conséquent le volume de chaque pyramide est 1/6 du volume demi-cube. Donc le volume du polyèdre est le 1/6 du volume du cube :

V = 1000/6 = 500/3 ≈ 167 (en cm³)

Notions mathématiques

volume, cube, sommet, centre

Résultats

17.I.19

Points attribués sur 244 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte « volume : 1000/6 ou 500/3 ou ≈ 167 (in cm3) » avec explications complètes
• 3 points: Réponse correcte mais avec explications lacunaires
• 2 points: Une erreur de calcul, avec des explications complètes
• 1 point: Début de résolution correct, (reconnaissance de l’octaèdre mais formule inadaptés pour le calcul du volume)
• 0 point: Incompréhension du problème