Banque de problèmes du RMT
3d44-fr
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Calculer le volume d'un octaèdre régulier inscrit dans un cube de 10 cm d'arête, tel que chaque sommet de l'octaèdre est au centre d'une face du cube.
Analyse a priori
- Observer que les arêtes ont toutes la même longueur 5 √2 cm car elles sont les côtés de carrés inscrits aux milieux des côtés des carrés médians du cube (coupes par des plans parallèles à ses faces passant par le centre, en gris sur la figure)
- En déduire que les faces du polyèdre sont 8 triangles équilatéraux, qu’il s’agit d’un octaèdre régulier (6 sommets et 12 arêtes).
- Pour calculer le volume, on peut considérer deux pyramides dont la base est le carré gris de la figure et la hauteur mesure 5 cm :
V = 2 x (1/3) x 50 x 5 = 500/3 ≈ 167 (en cm3)
Ou: observer que l’aire du carré gris est la moitié de celle d’une face du cube et que, par conséquent le volume de chaque pyramide est 1/6 du volume demi-cube. Donc le volume du polyèdre est le 1/6 du volume du cube :
V = 1000/6 = 500/3 ≈ 167 (en cm3)
volume, cube, sommet, centre
Points attribués sur 244 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 68 (50%) | 24 (18%) | 6 (4%) | 8 (6%) | 30 (22%) | 136 | 1.32 |
| Cat 10 | 48 (44%) | 11 (10%) | 13 (12%) | 13 (12%) | 23 (21%) | 108 | 1.56 |
| Total | 116 (48%) | 35 (14%) | 19 (8%) | 21 (9%) | 53 (22%) | 244 | 1.43 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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