Le lingot d'or

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Rallye: 18.II.21 ; catégories: 9, 10 ; domaine: 3D
Familles:

• FOR - Utiliser une formule
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/VOL - Déterminer des aires et/ou périmètres et/ou volumes

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Résumé

Déterminer la quantité d'eau contenue dans un récipient cubique connaissant la différence de hauteurs atteintes par l'eau selon qu'un lingot (parallélépipède rectangle) y soit plongé verticalement ou horizontalement.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Remarquer que le volume d’eau que Charles a versé est égal au volume occupé dans le récipient par une hauteur d’eau de 5 cm, moins le volume du lingot (position 1) et qu’il est aussi égal au volume occupé par une hauteur de 4 cm d’eau dans le récipient dans la position 2.

- Le calcul de ces volumes conduit à choisir la longueur l du lingot comme inconnue. Le volume d’eau que Charles a versé est égal à 5l² – 25l (position 1).

- Le volume occupé par une hauteur de 4 cm d’eau dans le récipient dans la position 2 est égal à 4(l² – 25).

- Dans les deux positions, le volume de l’eau n’a pas changé, on a donc 5l² – 25l = 4(l² – 25)

- Comprendre que la longueur du lingot est supérieure à 5 cm et procéder par essais numériques en comparant les volumes d’eau dans les deux positions.

- Conclure que Charles a versé 1500 cm3 d’eau, ce qui fait un litre et demi.

Ou : procéder de manière algébrique. L’égalité du volume d’eau calculé dans les deux positions conduit à l’équation 5l² - 25l = 4(l² - 25). D’autre part comprendre que le volume de la partie non immergée du lingot en position 2, 25(l - 4), est égal au volume l² d’une tranche du récipient d’une hauteur de 1 cm. D’où l’équation l² = 25l - 100.

Résoudre l’équation du second degré avec la formule ou, dans le premier cas, par calcul algébrique, écrire 5l² – 25l = 4(l² – 25) et donc 5l(l - 5) = 4(l² – 25) et arriver à (l - 5)(l - 20) = 0.

Obtenir les deux solutions l = 5 cm et l = 20 cm. Éliminer la valeur 5 car le lingot serait un cube.

- Calculer le volume d’eau que Charles a versé : 5l² – 25l = 5 × 20² - 25 × 20 = 1500 cm3, ce qui fait un litre et demi.

Notions mathématiques

parallélépipède rectangle, volume

Résultats

18.II.21

Points attribués sur 247 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (1500 cm3 ou 1,5 litre) avec des explications complètes (essais organisés ou résolution d’une équation).
• 3 points: Réponse correcte mais avec des explications incomplètes ou réponse correcte avec seulement une vérification.
• 2 points: Réponse correcte sans explication ou mise en équation avec une erreur de calcul ou acceptation des deux valeurs 5 cm et 20 cm.
• 1 point: Début de raisonnement correct.
• 0 point: Incompréhension du problème.