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Banque de problèmes du RMT

3d46-fr

centre

Le lingot d'or

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Rallye: 18.II.21 ; catégories: 9, 10 ; domaine: 3D
Familles:

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer la quantité d'eau contenue dans un récipient cubique connaissant la différence de hauteurs atteintes par l'eau selon qu'un lingot (parallélépipède rectangle) y soit plongé verticalement ou horizontalement.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Remarquer que le volume d’eau que Charles a versé est égal au volume occupé dans le récipient par une hauteur d’eau de 5 cm, moins le volume du lingot (position 1) et qu’il est aussi égal au volume occupé par une hauteur de 4 cm d’eau dans le récipient dans la position 2.

- Le calcul de ces volumes conduit à choisir la longueur l du lingot comme inconnue. Le volume d’eau que Charles a versé est égal à 5l2 – 25l (position 1).

- Le volume occupé par une hauteur de 4 cm d’eau dans le récipient dans la position 2 est égal à 4(l2 – 25).

- Dans les deux positions, le volume de l’eau n’a pas changé, on a donc 5l2 – 25l = 4(l2 – 25)

- Comprendre que la longueur du lingot est supérieure à 5 cm et procéder par essais numériques en comparant les volumes d’eau dans les deux positions.


- Conclure que Charles a versé 1500 cm3 d’eau, ce qui fait un litre et demi.

Ou : procéder de manière algébrique. L’égalité du volume d’eau calculé dans les deux positions conduit à l’équation 5l2 - 25l = 4(l2 - 25). D’autre part comprendre que le volume de la partie non immergée du lingot en position 2, 25(l - 4), est égal au volume l2 d’une tranche du récipient d’une hauteur de 1 cm. D’où l’équation l2 = 25l - 100.

Résoudre l’équation du second degré avec la formule ou, dans le premier cas, par calcul algébrique, écrire 5l2 – 25l = 4(l2 – 25) et donc 5l(l - 5) = 4(l2 – 25) et arriver à (l - 5)(l - 20) = 0.

Obtenir les deux solutions l = 5 cm et l = 20 cm. Éliminer la valeur 5 car le lingot serait un cube.

- Calculer le volume d’eau que Charles a versé : 5l2 – 25l = 5 × 202 - 25 × 20 = 1500 cm3, ce qui fait un litre et demi.

Notions mathématiques

parallélépipède rectangle, volume

Résultats

18.II.21

Points attribués sur 247 classes de 21 sections:

Catégorie01234Nb. de classesMoyenne
Cat 9113 (81%)7 (5%)8 (6%)4 (3%)7 (5%)1390.45
Cat 1078 (72%)3 (3%)5 (5%)3 (3%)19 (18%)1080.91
Total191 (77%)10 (4%)13 (5%)7 (3%)26 (11%)2470.65
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

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