Banque de problèmes du RMT
3d47-fr
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Une figure composée d’un hexagone régulier central prolongé par des carrés sur chacun de ses côtés (patron d’un prisme droit à base hexagonale) est inscrite dans un disque. Déterminer si l’aire de la partie du disque non occupée par la figure est supérieure ou inférieure à celle de l’hexagone.
Analyse a priori:
- Comprendre que la demande se situe au niveau de l’aire des figures restantes et celle de l’hexagone central.
- Montrer que les triangles découpés (en gris sur le dessin ci-contre) sont équilatéraux et ont des côtés de même longueur que ceux de l’hexagone. Pour la « démonstration » il faut faire intervenir les propriétés du carré (côtés égaux), la décomposition de l’hexagone en six triangles équilatéraux et le calcul de l’angle formé par deux côtés de carrés adjacents, en degrés (360 – 120 – 2 x 90 = 60 ou 360/6 = 60), pour arriver à la conclusion que, les triangles gris étant isocèles avec un angle de 60 degrés, sont équilatéraux et isométriques aux six triangles contenus dans l’hexagone).
- Il est aussi possible de découper les triangles et de les coller ensemble pour former le couvercle, mais cette explication ne répond pas entièrement à la demande.
- Conclure que les six triangles, ensemble, pourront recouvrir exactement l’hexagone de base et que, en les collant deux à deux par du ruban adhésif (et en repliant les petites parties de cercle qui dépassent) on pourra construire le couvercle de la boîte
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