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Tours bicolores

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Rallye: 16.I.05 ; catégories: 3, 4, 5 ; domaine: 3D
Familles:

Résumé

Calculer le nombre de cubes gris et blancs d'une tour de six étages, de couleurs alternées, disposés en carrés, et dont les côtés des étages carrés augmentent de un en un.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que tous les cubes ne sont pas visibles sur la représentation.

- Comprendre les règles de construction des tours : alternance des couleurs ; chaque étage a la forme d’un carré dont le côté comporte un cube de plus que celui de l’étage immédiatement supérieur (à partir du haut de la tour, les côtés des carrés sont de 1, 2, 3, ... cubes).

- Déterminer le nombre de cubes de chaque tour et leur couleur, par construction effective à l’aide de matériel et comptage un à un, ou étage par étage par addition ou multiplication (carrés) puis par addition du nombre de cubes des différents étages, ...

Ou : calculer les nombres de cubes de la 4e tour en ajoutant 16 blancs : 30 cubes (14 + 16) dont 10 gris et 20 (4 + 16) blancs; puis de la 5e tour: 55 cubes (30+25) dont 35 gris (10+25) et 20 blancs, puis de la 6e tour: 91 cubes dont 35 gris et 56 (20 + 36) blancs (les résultats peuvent être organisés en tableaux).

Ou : remarquer que les nombres de cubes par étage sont donnés par la suite des carrés des nombres naturels et utiliser cette suite, (passage du géométrique au numérique), pour déterminer le nombre de cubes de chaque couleur : gris (1 + 9 + 25 = 35) et blancs (4 + 16 + 36 = 56).

Notions mathématiques

addition, multiplication, carré, nombre naturel, représentation plane

Résultats

16.I.05

Points attribués sur 145 classes de Suisse romande:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 3	22 (81%)	0 (0%)	1 (4%)	2 (7%)	2 (7%)	27	0.59
Cat 4	22 (52%)	0 (0%)	6 (14%)	2 (5%)	12 (29%)	42	1.57
Cat 5	32 (42%)	0 (0%)	9 (12%)	5 (7%)	30 (39%)	76	2.01
Total	76 (52%)	0 (0%)	16 (11%)	9 (6%)	44 (30%)	145	1.62
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Solution correcte (35 gris et 56 blancs) avec explications
3 points: Solution correcte (35 gris et 56 blancs) sans explications ou avec explications insuffisantes
2 points: Démarche correcte mais avec réponse fausse due à une seule erreur dans le dénombrement ou le calcul
ou démarche correcte avec, comme réponse, le nombre total de cubes (91) sans distinguer les couleurs
1 point: Comptage de cubes visibles uniquement (15 gris et 21 blancs)
0 point: Incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT