ARMT

Banca di problemi del RMT

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Torri bicolori

Identificazione

Rally: 16.I.05 ; categorie: 3, 4, 5 ; ambito: 3D
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Calcolare il numero di cubi di ogni colore necessari per costruire una torre di 6 piani secondo le regole date per la costruzione.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

  1. Con il materiale (regoli o cubetti) in dotazione in classe creare il modello rispettando le consegne dell’enunciato, cioè rispettando l’alternanza dei colori nella costruzione delle torri.
  2. Durante la costruzione accorgersi che i cubi con i quali sono costruite le torri sono più numerosi di quelli visibili nel modello: per la seconda torre se ne vedono 4 mentre in realtà ne occorrono 5, per la terza torre se ne vedono 10 ma ne servono 14.
  3. Costruire il quarto strato di base (4x4), e realizzare che la base di ogni piano è di forma quadrata e che nel passaggio da un piano all’altro della torre, è previsto l’aumento di un cubo per ogni lato, cioè partendo dall’alto della torre i lati dei quadrati sono di: 1, 2, 3 ect…….cubetti
  4. Procedere alla costruzione del quinto strato (5x5) grigio.
  5. Procedere alla costruzione del sesto strato (6x6) bianco.
  6. Eseguire un semplice calcolo aritmetico sommando i cubi grigi dei vari strati, e lo stesso per i cubi bianchi.

Il compito può essere risolto anche solo aritmeticamente:

I saperi mobilizzati sono:

Nozioni matematiche

visione spaziale, cubo, quadrato

Risultati

16.I.05

Su 495 protocolli esaminati delle sezioni di Milano, Parma, Riva, Rozzano e Siena i punteggi attribuiti sono stati i seguenti:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 3112 (81%)6 (4%)1 (1%)10 (7%)10 (7%)1390.56
Cat 498 (61%)14 (9%)6 (4%)16 (10%)27 (17%)1611.13
Cat 586 (44%)18 (9%)4 (2%)25 (13%)62 (32%)1951.79
Totale296 (60%)38 (8%)11 (2%)51 (10%)99 (20%)4951.23
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Confrontando i valori delle medie sopra riportate con quelli delle 1254 classi di tutte le 20 sezioni del RMT si può osservare che i valori non si discostano in modo significativo; infatti differiscono al massimo in più o meno dello 0,1.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

Osservando i dati della tabella, si nota che passando da Cat.3 (0,51) a Cat.4 (1,06)e a Cat.5 (1,91) c’è un incremento rilevante del valore della media dei punteggi, infatti prima raddoppia e poi quadruplica. Gli insuccessi (punteggi 0 e 1) sono l’85% in Cat.3, il 69% in Cat.4 e il 53% in Cat.5; di questi solo il 9% consegna il foglio in bianco e anche qui prevalgono nettamente gli elaborati di Cat.3. I successi (punteggi 3 e 4) partono dal 14% in Cat.3 per passare al 27% per Cat.4 e arrivare al 45% di Cat.5. Aumentando l’età dei ragazzi le prestazioni migliorano; questa rilevazione ci può far pensare che siano le esperienze, spesso anche extrascolastiche a permettere l’acquisizione di conoscenze necessarie ad interpretare la rappresentazione di un oggetto nello spazio e quindi costruirsi piano piano una visualizzazione spaziale.

Da alcuni elaborati di Cat.3 e Cat.4 si nota infatti che la figura in oggetto, costituita da cubi, viene trasformata in una costituita da quadrati. Nella scuola primaria gli oggetti sono molto utilizzati ma il termine cubo probabilmente non è stato metabolizzato dal punto di vista geometrico mentre nei bambini più grandi è maggiore la conoscenza dell’oggetto cubo, poiché si nota che c’è una maggiore capacità a lavorare sulla tridimensionalità, infatti sono presenti diversi disegni corretti e alcuni dicono di aver costruito le torri usando i regoli, quindi la manipolazione li porta a giuste conclusioni .

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Gli elaborati presentano una tale moltitudine e diversità di errori, che potremmo provare a classificare in queste categorie:

- errore di calcolo nel computo dei cubi dei piani o nella somma dei cubi. Molti errori sono dovuti alla strategia utilizzata perché sommano, moltiplicano, elevano al quadrato …lavorano solo combinando i numeri del testo. La frequenza nelle 3 categorie è pressoché costante.

- disegno presente nel testo del problema: ci si riferisce ai protocolli che considerano solo il disegno presentato dal testo o, al più compiono un’unica operazione per determinare, a parere loro, il numero dei cubi della sesta torre. La frequenza di questo tipo di errore decresce con la scolarità, forse per maggiore comprensione del testo del problema.

- modello additivo: la regolarità viene intesa sulla base di un modello lineare, anche se non sempre perseguito in modo coerente, per cui si passa dalla terza alla quarta torre aggiungendo un prefissato numero di cubi che può dipendere dal colore oppure no, infatti molti fanno una rappresentazione con appiattimento della figura con una lettura sbagliata del testo. Si noti come la frequenza di questo tipo di errore aumenti con la scolarità.

- incompletezza: ci sono protocolli che arrivano a considerare solo una o due ulteriori torri. Altri che forniscono la risposta di quanti cubi aggiungere, senza tenere in considerazione quelli già presenti. A questo si aggiunge il caso di chi fornisce come risposta la somma dei cubi utilizzati (giusta oppure no) senza specificare il colore. errore geometrico: hanno considerato gli strati a forma di parallelepipedo a base quadrata, ma hanno disegnato i quadrati con i lati diseguali oppure composti (nello stesso strato) con cubi di colori diversi. Interessante come diminuisca la frequenza di errore geometrico al crescere della scolarità, forse per le acquisite conoscenze geometriche che spesso non vengono introdotte prima della quarta.

- disegno: questo più che un errore è la padronanza insufficiente dei metodi di rappresentazione: i protocolli presentano un disegno a due o tre dimensioni. L’errore consiste nello svolgere il calcolo sul disegno. l’orlatura è un metodo previsto dal punteggio 1, vale a dire considerare solo i cubi ‘visibili’. A volte però non c’è neppure una rappresentazione, ma la tecnica è abbastanza chiara dal calcolo effettuato.

Quindi gli errori più comuni si possono sintetizzare in questi casi:

- rispondono 20 cubi, perché sommano quelli che vedono disegnati sulla scheda (15%)

- rispondono 21 cubi (12 bianchi e 9 grigi) perché disegnano la torre come assemblaggio di quadrati visti di fronte (12%)

Elaborato 03015

- rispondono 36 cubetti (15grigie 21 bianchi) che corrispondono al numero di cubi della sesta torre

- vista dall’alto o l’hanno disegnata in 3 dimensioni, ma contano solo i cubetti che si vedono (10%)

Elaborato 05021

Il problema è presentato come un problema geometrico specialmente per la scelta del linguaggio, dei disegni ma la soluzione potrebbe prescindere dalla geometria. Infatti tale ambito scientifico offre solo il pretesto per la costruzione di una doppia successione di numeri quadrati, sui quali lavorare in modo adeguato. Nella maggioranza dei protocolli l’aritmetica sopravanza l’aspetto geometrico e le procedure di tipo aritmetico sono varie e rappresentano circa il 40%:

- osservano che la pianta di ogni piano ha la forma di un quadrato, il cui lato utilizza un cubo in più del quadrato del piano immediatamente superiore, da qui arrivano a calcolare i vari piani, partendo dall’alto, i lati dei quadrati sono formati da 1, 2, 3, 4, 5, 6 cubi e contano i cubi grigi, che occupano i piani di posto dispari, mentre quelli bianchi quelli di posto pari;

- osservano che i numeri dei cubi per piano sono dati dalla successione dei quadrati dei numeri naturali, 1x1, 2x2, 3x3, 4x4, 5x5, 6x6 ed utilizzano questa successione per calcolare il numero di cubi grigi e bianchi; aggiungono ai 14 cubi contati fino al terzo piano i 16 cubi bianchi del quarto piano (capiscono così che ogni piano è rappresentato da un quadrato in successione) e poi i 25 cubi grigi del quinto ed infine i 36 cubi bianchi del sesto piano.

Il 25% utilizza una procedura basata sul disegno in 2 dimensioni, ad esempio disegna la base della torre o la sezione della torre vista dall’alto e con questi dati riesce a contare i cubi grigi e quelli bianchi

Il 15% disegna la torre in 3 dimensioni con i suoi 6 piani e poi conta i cubi piano per piano e somma quelli grigi e quelli bianchi

Elaborato 05027

Solo il 10% ricorre alla manipolazione e costruisce la torre con dei materiali che trovano in classe ( regoli,..).

Un grosso ostacolo emerso è rappresentato dal conflitto fra immagini mentali e concetti geometrici, che si nota soprattutto là dove viene utilizzato un linguaggio non pertinente; si scambia spesso specialmente in Cat. 3 e 4 il termine cubo con quadrato, per cui non si cambia registro passando dalle 2 alle 3 dimensioni e viceversa. Forse nella scuola primaria il termine cubo, almeno nelle prime classi, non è stato interiorizzato dal punto di vista geometrico, mentre negli elaborati si vede come i più grandi mostrano una maggior capacità di lavorare sulla tridimensionalità. Un altro ostacolo è rappresentato dal fatto che non vedono i cubi nascosti, manca ancora una chiara visione spaziale.

Indicazioni didattiche

Potrebbe essere un buon problema per affrontare la visualizzazione spaziale dalle 2D alle 3D sin dai primi anni di scuola primaria e più avanti per trattare la differenza fra quadrato e cubo e fra cubo e parallelepipedo. Noi pensiamo che il problema sia di stimolo per l’insegnante dei primi due anni di scuola primaria per proporre concretamente la situazione in classe.

Per migliorare la mancanza di visualizzazione spaziale basterebbe tener conto dei suggerimenti offertici da Vinicio Villani nel “Insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol 10, n°5, dove invitava a costruire concetti matematici attraverso esperienze spaziali da introdurre fin dai primi anni di scolarità per poi non trovarsi studenti con una scorretta visualizzazione spaziale.

Visti i risultati pensiamo che per la Cat.3 l’utilizzo di un modello materiale è sicuramente necessario per comprendere a fondo la situazione problematica. Se i ragazzi manipolano dei cubi, si appropriano della struttura generale e questo fatto rappresenta un progresso nella rappresentazione mentale del modello dal quale in Cat. 4 e 5 ci si può staccare per passare da un registro geometrico ad uno puramente aritmetico.

Per andare più lontano

Aumentando il numero delle torri si può estendere il problema alle Cat. 6 e 7, magari per aiutare la costruzione del concetto di numero quadrato; oppure partendo da un contesto diverso, dando il numero di cubi di uno strato, chiedere la misura del lato come concetto di estrazione di radice quadrata.

Per i ragazzi di Cat. 8 potrebbe essere usato per consolidare i concetti di volume e superficie totale del solido composto. Inoltre aumentando il numero delle torri e modificandone la loro disposizione può essere utile per la visualizzazione da 3D a 2D. Va cambiato il testo del problema, cioè togliere il disegno, fornire i cubi necessari e chiedere il disegno delle facce del solido composto.

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