Cubes cachés

Identification

Rallye: 16.F.16 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: 3D, OPN
Familles:

• DCP - Décomposer un nombre naturel
• LAV - Utiliser des longueurs, surfaces et volumes dans l'espace
• LAV/OA - Traiter des situations arithmétiques dans un contexte géométrique
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/VOL - Déterminer des aires et/ou périmètres et/ou volumes

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver les dimensions possibles d'un parallélépipède rectangle constitué de 120 blocs cubiques (86 blancs et 34 noirs) de telle manière qu’on ne puisse pas voir les blocs noirs quand le parallélépipède est posé sur le sol.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Lire l’énoncé, comprendre que le parallélépipède doit être composé de 120 (86 + 34) cubes et qu’il peut avoir plusieurs dimensions possibles (triplets de nombres naturels dont le produit est 120) : 1×1×120 ; 1×2×60 ; ...

- Comprendre que le parallélépipède est posé sur sa base dont les cubes « intérieurs » ne sont pas visibles, ce qui n’est pas le cas pour la face supérieure et pour les faces latérales.

- Comprendre que le nombre des cubes invisibles doit être supérieur ou égal à 34 et dépend de la face que l'on pose sur le bureau. Il dépend donc du nombre de cubes en hauteur du parallélépipède.

- Se rendre compte que, si l’ont veut « cacher » les cubes noirs, le parallélépipède doit avoir au moins 2 cubes de hauteur et 3 cubes dans les deux autres dimensions.

- Dresser un inventaire complet des parallélépipèdes possibles et calculer pour chacun le nombre des cubes invisibles en fonction de la hauteur choisie.

- Constater qu’il n’y a que deux dispositions qui permettent de cacher tous les cubes noirs : - le parallélépipède de 3 cubes de hauteur, 5 et 8 dans les deux autres dimensions,

- le parallélépipède de 4 cubes de hauteur, 5 et 6 dans les deux autres dimensions.

Notions mathématiques

multiplication, décomposition en produit, parallélépipède rectangle, volume, face

Résultats

16.F.16

Points attribués sur 37 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les deux solutions correctes : 3 (hauteur) × 5 × 8 et 4 (hauteur) × 5 × 6, avec des explications claires qui montrent l’étude de tous les cas
• 3 points: Les deux solutions correctes avec des explications incomplètes 2 Les deux solutions correctes sans explication
  ou une seule des deux solutions avec explications claires avec au maximum deux triplets erronés
• 1 point: Une solution correcte sans explications ou les deux solutions sans indiquer la hauteur ou début de recherche pertinente
• 0 point: Incompréhension du problème

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