Banque de problèmes du RMT
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Déterminer le nombre de petits cubes utilisés pour constituer le 17e cube du suite de cubes ajourés.
Analyse a priori
- Observer que les solides de la suite reposent sur des cubes de côté m, où m désigne le nombre de petits cubes sur une arête, dont on retirera petits cubes des trous pratiqués.
- Comprendre que, si l’on indique par n le numéro d’ordre dans la suite des solides, le nombre m varie selon la suite des nombres impairs supérieurs à 1 (3, 5, 7, 9, …), et donc m = 2n+1, alors que le nombre des trous d’une face du solide de position n est n2.
- Déterminer le nombre de petits cubes des premiers solides de la suite, en cherchant à les « visualiser » pour pouvoir les compter. Par exemple :
solide 1 (m=3): formé de 2 plans de 9 - 1 = 8 petits cubes et de 1 plan intermédiaire de (3 - 1)2 = 4 petits cubes
solide 2 (m=5): formé de 3 plans de 25 - 4 = 21 petits cubes et de 2 plans intermédiaire de (5 - 2)2 = 9 petits cubes
solide 3 (m=7): formé de 4 plans de 49 - 9 = 40 petits cubes et de 3 plans intermédiaire de (7 - 3)2 = 16 petits cubes
- Se rendre compte qu’il y a une régularité dans la manière de compter les petits cubes des solides examinés :
solide 1 (m = 3) nombre totale des petits cubes :
2 x (3² – 1²) + 1 x (3 – 1)² = 20
solide 2 (m = 5) nombre totale des petits cubes :
3 x (5² – 2²) + 2 x (5 – 2)² = 81
solide 3 (m = 7) nombre totale des petits cubes :
4 x (7² – 3²) + 3 x (7 – 3)² = 208
- Déterminer le nombre de petits cubes du solide demandé, en continuant à appliquer cette règle trouvée jusqu’au 17e.
solide 4 (m = 9) nombre totale des petits cubes :
5 x (9² – 4²) + 4 x (9 – 4)² = 425
...
solide 17 (m = 35) nombre totale des petits cubes :
18 x (35² – 17²) + 17 x (35 – 17)² = 22 356
Ou : algébriquement, exprimer le lien entre le nombre Cn des petits cubes du solide de rang n en fonction de n et de m :
Cn = (n + 1) (m2 - n2) + n (m - n)2,
et ensuite seulement en fonction de n en se souvenant que m = 2n + 1 et en développant les calculs algébriques :
Cn = (n + 1) [(2n + 1)2 - n2] + n [(2n+1) – n]2 = (n + 1)(4n2 + 5n + 1) = 4n3 + 9n2 + 6n + 1.
calculer la valeur de Cn pour n =17 (Cn = 22 356).
Ou : en observant les trous, compter les petits cubes qui manquent dans chaque solide. Noter que, puisque chaque trou relie deux faces opposées, il suffit de compter les trous sur trois faces contiguës du solide. Dans une face du solide de rang n, il y a n2 trous, dont chacun correspond à une perte de 2n + 1 petits cubes. Les trous des 2 faces contiguës à celle-ci, ne correspondent en revanche qu’à la perte de (2n + 1) – n petits cubes en raison des intersections entre trous. Donc, le nombre des petits cubes manquants dans le solide de rang n est :
(2n + 1) n2 + 2 [(2n + 1) – n] n2 = n2 (2n + 1 + 2n + 2) = n2 (4 n + 3)
et le nombre de petits cubes du nième solide est Cn = (2n + 1)3 – n2 (4 n + 3) = 4n3 + 9n2 + 6n + 1
Par conséquent, le nombre de petits cubes manquants du 17e solide est : 173 x (4 x 17 + 3) = 20 519 et le nombre de petits cubes de ce solide est donc : (2 x 17 + 1)3 – 20 519 = 42 875 – 20 519 = 22 356.
cube, volume, opération, puissance, calcul littéral, suite
Points attribués sur 246 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 86 (62%) | 32 (23%) | 8 (6%) | 3 (2%) | 9 (7%) | 138 | 0.67 |
| Cat 10 | 62 (57%) | 27 (25%) | 9 (8%) | 2 (2%) | 8 (7%) | 108 | 0.77 |
| Total | 148 (60%) | 59 (24%) | 17 (7%) | 5 (2%) | 17 (7%) | 246 | 0.72 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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