Lettres sur le cube

Identification

Rallye: 18.II.16 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaine: 3D
Familles:

• VS - Visualiser dans l'espace
• VS/2D - Changer de points de vue
• VS/SV - Traiter des développements de solides

Remarque et suggestion

Résumé

Les six faces d’un cube sont décorées de lettres, visibles sur trois photos prises sous des points de vue différents; compléter un développement de ce cube sur lequel deux lettres sont déjà dessinées.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Une première tâche est d’observer que les six lettres sur les faces sont A, H, I, F, X et que le I apparaît deux fois. Une manière de procéder consiste à découper un développement, y placer les lettress A et I, puis compléter une à une les quatre faces par essais sucessifs, avec vérifications par pliages.

Par visualisation mentale, sans manipulations, la tâche demande une observation précise des variations d’une photo à l’autre et des déduction. Par exemple:

- De la première à la troisième photo le cube subit une rotation de 90 degrés, la lettre A passe sur la face latérale droite et la lettre H tourne de 90 degrés aussi.

- La lettre A peut servir de point de référence, à sa droite A, sur le développement et sur la première photo, il y a une lettre I. Ces deux lettres permettent de déterminer la face sur laquelle se trouve H. Les lettres I et H ont un même plan vertical par rapport au cube et son sur la même droite du développement.

- Le X est sur la face à gauche de A selon la troisième photo, il le sera aussi sur le développement. Les quatre cases A, I, H et X complétées, il reste deux cases libres pour l’autre I et pour F (figure 1)

- Il y a alors deux possibilités, selon la deuxième photo qui montre les trois facea I, I, F, où les deux I ne sont pas dans le même plan, mais sur deux droites gacuhes orthogonales, et, par conséquent, sur deux droites perpendiculaires du développement.

• si la seconde lettre I est sous la première, la lettre F sera à droite disposée selon la figure 2. (Dans ce cas, le premier I, au centre du développement, est celui de la face supérieure de la deuxième photo);
• si la seconde lettre I est à droite de la première, la lettre F sera en bas, disposée selon la figure 3. (Dans ce cas, le premier I, au centre du développement, est celui de la facedu devant de la deuxième photo).

Cette tâche de l’élève montre que les notions mathématiques en jeu sont celles de la visualisation spatiale: les angles de vue, les positions relatives, les mouvements d’un cube à l’autre …

Il y a ensuite le va-et-vient permanent entre les images du cube qui sont dans le plan de la feuille à l’objet réel, réglé par les conventions de la perspective choisie.

Il y a enfin le passage au développement du cube en une composition plane de six carrés.

Notions mathématiques

visualisation spatiale, rotation, symétrie dans le plan, symétrie dans l’espace, passage du plan à l’espace, passage de l'espace au plan

Résultats

18.II.16

Sur 1388 classes de 21 sections ayant participé à la première épreuve du 18e RMT, les points relevés sont les suivants :

selon les critères d’attributions de points suivants :

• 4 points: Les deux solutions (figures 2 et 3) avec les lettres sur les bonnes faces et bien orientées
• 3 points: Une solution (figure 2 ou figure 3) avec les lettres sur les bonnes faces et bien orientées
  ou les deux solutions, avec toutes les lettres sur les bonnes faces mais certaines mal orientées
• 2 points: Une solution (figure 2 ou figure 3), avec toutes les lettres sur les bonnes faces mais certaines mal orientées
• 1 point: Une solution avec deux lettres mal placées (sur les « mauvaises » faces
• 0 point: Incompréhension du problème

Les données du tableau précédent montrent une réussite satisfaisante pour environ 50% des réponses (4 et 3 points) . Il y a un très léger progrès lié à l’âge des élèves (moyennes allant de 2,2 à 2,6 points).

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les analyse plus précises des copies d’élèves ayant obtenu 3 ou 4 points montrent que la principale procedure est de compléter le développement (65%) d’après l’interprétation des trois photos. Un tiers des élèves ont recouru à la réalisation effective du modèle, par découpage et pliage du développement pour vérifier l’orientation des lettres.

L’obstacle le plus fréquent relevé parmi les copies ayant obtenu de 1 à 3 points se situe dans la la correspondance entre les lettres F et I et les faces, puis dans leur orientation sur les faces. Comme le F n’a pas d’axe de symétrie, les erreurs perçues sont plus fréquentes car elle a quatre positions sur la face, alors qu’il n’y en a que deux « observables » pour le I.

Comme l’énoncé ne demande pas d’expliquer comment ont été trouvées les dispositions,l’analyse des copies ne permet pas de dire comment elles ont été trouvées.

Une autre « erreur » ou « insuffisance » consiste à s’arrêter à la première solution trouvée, par essais. sans s’apercevoir qu’il y en a une seconde.

On trouve aussi des copies où apparaissent d’autres lettres que celles qui sont sur les photos ou encore des développements du cube avec cinq faces seulement.

Exploitations didactiques

Il y a des personnes, élèves ou adultes, pour lesquelles la visualisation d’objets de l’espace est quasi “naturelle”, qui ont des repères, qui perçoivent ls positions relatives (comme la gauche et la droite) indépendamment du point de vue.

D’autres personnes ont plus de difficulté à trouver les repères. C’est à leur intention qu’il faut envisager une exploitation de la situation du cube:

• construire un développement du cube, y noter les lettres et vérifier;
• décrire oralement le mouvement qui permet de passer du cube dans sa première position (image de gauche) à sa troisième position (image de gauche) et noter les positions de la lettre H dans ce mouvement;
• confronter les observations des différents élèves pour déterminer celles qui sont le plus efficaces dans la procédure d’identification des faces;

Pour aller plus loin

On peut imaginer de nombreuses variantes de la situation. Par exemple ne donner qu’une lettre fixe comme un O en position centrale et trois photos avec deux autres lettres : O, O et X; O, I et A; O, F et H) et demander toutes les solutions possibles.

On peut aussi remplacer les lettres par des figures géométriques, avec ou sans axes de symétrie, comme dans le problème Le cube décoré.

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