Pyramides

Identification

Rallye: 17.I.21 ; catégorie: 10 ; domaine: 3D
Familles:

• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• VS - Visualiser dans l'espace
• VS/SV - Traiter des développements de solides

Remarque et suggestion

Résumé

Compléter le développement d'une pyramide dont la base est un trapèze isocèle (5, 5, 5, 10) et une face est un triangle équilatéral (10, 10, 10) puis déterminer sa hauteur.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Analyser le dessin et imaginer les trois triangles isocèles qui manquent et les quatre faces qui se relèvent après pliage pour se réunir au sommet de la pyramide. (Faire éventuellement quelques essais pratiques)

- Constater d’abord que les deux triangles isocèles (de droite et de gauche) ont chacun un côté qui sera commun avec un des côtés du triangle équilatéral et doit donc mesurer aussi 10 cm.

En déduire que ces triangles isocèles sont entièrement déterminés : leurs mesures des côtés sont 5, 10 et 10 (il faut éliminer la possibilité 5, 5 et 10 en raison de l’inégalité triangulaire).

En déduire enfin que le troisième triangle isocèle a deux côtés de 10 cm et que les trois faces isocèles sont isométriques.

- Imaginer les mouvements des faces lorsqu’elles sont relevées pour former la pyramide. Il s’agit de rotations spatiales autour des quatre côtés du trapèze. Pour chaque triangle, le sommet décrit un arc de cercle dans le plan médiateur (vertical) du côté fixe.

- Après avoir constaté que le trapèze est constitué de trois triangles équilatéraux de 5 cm de côté, comprendre que les trois plans verticaux ont pour traces sur le plan horizontal les quatre hauteurs des triangles, qui sont aussi les axes des quatre côtés de la base) et que ces traces concourent au milieu du grand côté de la base.

En déduire que le sommet de la pyramide se situe à la verticale du milieu du grand côté de la base (commune aux trois plans verticaux) et que, par conséquent la hauteur de la pyramide est celle de la face équilatérale, qui est située dans un plan vertical perpendiculaire à la base.

- Calculer la hauteur du triangle équilatéral de 10 cm de côté, par Pythagore ou à l’aide de la formule h = c√3/2

- Exprimer la hauteur, en cm : h = 5√3 ou en donner une approximation au dixième près  : h ≈ 8,7 ou au centième près : h ≈ 8,66 ...

Notions mathématiques

pyramide, développement, face, hauteur d’un triangle, plan perpendiculaire

Résultats

17.I.21

Points attribués sur 103 classes sur 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse complète et correcte (le dessin en vraie grandeur, avec les traits de construction et la hauteur de la pyramide 5√3, ≈ 8,7, ≈ 8,66) et explications (face verticale et détails du calcul de la hauteur)
• 3 points: Réponse complète, mais avec des explications lacunaires ou un dessin très imprécis
• 2 points: Dessin précis et complet sans le calcul de la hauteur
  ou réponse correcte pour la hauteur avec explications,
  ou un dessin imprécis et la hauteur correcte mais sans explication
  ou une pyramide collée ou recopiée obtenue seulement par essais et découpages, avec hauteur seulement mesurée
• 1 point: Début de recherche, avec développement qui ne permet cependant pas de reconstituer une pyramide
• 0 point: Incompréhension du problème

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