Yvan le confiseur

Identification

Rallye: 23.I.12 ; catégories: 6, 7, 8, 9, 10 ; domaine: 3D
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/VOL - Déterminer des aires et/ou périmètres et/ou volumes
• VS - Visualiser dans l'espace
• VS/OA - Compter ou dénombrer des objets

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Résumé

Déterminer le nombre maximum de parallélépipèdes rectangles de dimensions extérieures 8, 3 et 5 (cm) qu’on peut disposer dans un parallélépipède rectangle de dimensions intérieures, 60, 60 et 5 (cm).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Imaginer la tâche de remplissage de la grande boîte par des petites de manière à en mettre le plus possible ou de laisser le moins d’espaces vides. Un éventuel calcul du rapport des deux volumes permet de savoir que le « maximum théorique » est 150 = 18000/120 (ou 3600/24 après simplification par 5) petites boîtes dans la grande, afin d’évaluer les futures réponses successives trouvées.

- Se rendre compte que les petites boîtes peuvent être disposées avec 8 cm, 5 cm ou 3 cm en hauteur sur le fond de la grande boîte 60 × 60; que la première disposition n’est pas possible car elles dépasseraient de la grande boîte, que la disposition avec 3 cm en hauteur laisserait des vides de 2 cm qu’on ne pourrait plus combler et qu’il faudra adopter la disposition 5 cm en hauteur pour une utilisation optimale de l’espace. Le problème se réduit alors à trouver une disposition optimale des faces rectangulaires de 3 × 8 dans le « fond » carré de la grande boîte 60 × 60.

- Disposer 20 rectangles de largeur 3 les uns à côté des autres, pour obtenir un rectangle de 60 × 8, puis le reproduire sept fois et occuper un rectangle de 56 × 60 (figure 1). On place ainsi 140 boîtes et il reste un espace libre de 4 × 60, dans lequel on peut encore placer 7 boîtes (après rotation d’un quart de tour) (figure 2). L’espace libre est alors constitué d’une bande de 1 × 56 et d’un carré de 4× 4, c’est-à-dire 72 cm² du fond.

- Le reste de 72 cm² inutilisable, correspondant à la surface de 3 rectangles de 8 × 3, ou 3 boîtes, doit inciter à la recherche d’une meilleure disposition et à se demander si on ne peut pas éliminer la bande de 1 × 56.

- Une solution consiste à ne placer que 6 files de 20 rectangles (figure 3) pour occuper un rectangle de 48 × 60 (au lieu de 56 × 60) avec un rectangle de 12 × 60 (12 est un multiple de 3) encore à disposition, dans lequel on peut placer 7 blocs de 4 rectangles (après rotation d’un quart de tour) les uns à côté des autres (figure 4)*. On a ainsi placé 6 × 20 + 7 × 4 = 148 rectangles. Il n’y a plus de bande inoccupée et il reste à disposition un rectangle de 4 × 12 dans lequel on peut encore placer une 149e boîte, avec une partie inoccupée de 24 cm2 du fond, mais constituée d’une bande de 1 × 12 et d’un rectangle de 3 × 4 dans lequel on ne peut pas placer une 150e boîte (figure 5).

- Il reste à se convaincre qu’il n’y a pas de meilleure disposition, mais on ne dispose pas de démonstration.

Notions mathématiques

parallélépipède rectangle, volume

Résultats

23.I.12

Points attribués sur 2868 copies de 21 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse 149, avec détails de la disposition des boîtes (dessin, description par couches …)
• 3 points: Réponse 149 sans explications ou avec explications peu claires
  ou réponse 148 avec détails de la disposition
• 2 points: Réponse 148 sans explications ou avec explications peu claires
  ou réponse 147 avec détails de la disposition
• 1 point: Réponse 150 par procédure arithmétique (rapport des volumes 1200 : 8)
  ou réponse entre 140 et 146 avec détails de la disposition
• 0 point: Incompréhension du problème