Banque de problèmes du RMT
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Déterminer le nombre maximum de parallélépipèdes rectangles de dimensions extérieures 8, 3 et 5 (cm) qu’on peut disposer dans un parallélépipède rectangle de dimensions intérieures, 60, 60 et 5 (cm).
- Imaginer la tâche de remplissage de la grande boîte par des petites de manière à en mettre le plus possible ou de laisser le moins d’espaces vides. Un éventuel calcul du rapport des deux volumes permet de savoir que le « maximum théorique » est 150 = 18000/120 (ou 3600/24 après simplification par 5) petites boîtes dans la grande, afin d’évaluer les futures réponses successives trouvées.
- Se rendre compte que les petites boîtes peuvent être disposées avec 8 cm, 5 cm ou 3 cm en hauteur sur le fond de la grande boîte 60 × 60; que la première disposition n’est pas possible car elles dépasseraient de la grande boîte, que la disposition avec 3 cm en hauteur laisserait des vides de 2 cm qu’on ne pourrait plus combler et qu’il faudra adopter la disposition 5 cm en hauteur pour une utilisation optimale de l’espace. Le problème se réduit alors à trouver une disposition optimale des faces rectangulaires de 3 × 8 dans le « fond » carré de la grande boîte 60 × 60.
- Disposer 20 rectangles de largeur 3 les uns à côté des autres, pour obtenir un rectangle de 60 × 8, puis le reproduire sept fois et occuper un rectangle de 56 × 60 (figure 1). On place ainsi 140 boîtes et il reste un espace libre de 4 × 60, dans lequel on peut encore placer 7 boîtes (après rotation d’un quart de tour) (figure 2). L’espace libre est alors constitué d’une bande de 1 × 56 et d’un carré de 4× 4, c’est-à-dire 72 cm2 du fond.
- Le reste de 72 cm2 inutilisable, correspondant à la surface de 3 rectangles de 8 × 3, ou 3 boîtes, doit inciter à la recherche d’une meilleure disposition et à se demander si on ne peut pas éliminer la bande de 1 × 56.
- Une solution consiste à ne placer que 6 files de 20 rectangles (figure 3) pour occuper un rectangle de 48 × 60 (au lieu de 56 × 60) avec un rectangle de 12 × 60 (12 est un multiple de 3) encore à disposition, dans lequel on peut placer 7 blocs de 4 rectangles (après rotation d’un quart de tour) les uns à côté des autres (figure 4)*. On a ainsi placé 6 × 20 + 7 × 4 = 148 rectangles. Il n’y a plus de bande inoccupée et il reste à disposition un rectangle de 4 × 12 dans lequel on peut encore placer une 149e boîte, avec une partie inoccupée de 24 cm2 du fond, mais constituée d’une bande de 1 × 12 et d’un rectangle de 3 × 4 dans lequel on ne peut pas placer une 150e boîte (figure 5).
- Il reste à se convaincre qu’il n’y a pas de meilleure disposition, mais on ne dispose pas de démonstration.
parallélépipède rectangle, volume
Points attribués sur 2868 copies de 21 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 649 (63%) | 360 (35%) | 19 (2%) | 2 (0%) | 2 (0%) | 1032 | 0.4 |
| Cat 7 | 364 (40%) | 512 (56%) | 31 (3%) | 4 (0%) | 1 (0%) | 912 | 0.65 |
| Cat 8 | 171 (27%) | 398 (62%) | 63 (10%) | 3 (0%) | 2 (0%) | 637 | 0.85 |
| Cat 9 | 21 (14%) | 117 (77%) | 11 (7%) | 0 (0%) | 2 (1%) | 151 | 0.97 |
| Cat 10 | 28 (21%) | 86 (63%) | 19 (14%) | 1 (1%) | 2 (1%) | 136 | 0.99 |
| Total | 1233 (43%) | 1473 (51%) | 143 (5%) | 10 (0%) | 9 (0%) | 2868 | 0.64 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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