Jeu de cubes

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Rallye: 24.I.07 ; catégories: 4, 5 ; domaine: 3D
Famille:

• VS - Visualiser dans l'espace

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Résumé

Déterminer à partir de représentations en perspective cavalière le nombre de cubes nécessaires à la réalisation de trois assemblages où les cubes sont empilés les uns à côté et sur les autres, contre une paroi.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Observer les représentations et comprendre que sur les cubes visibles une, deux ou trois de leurs faces sont visibles. Comprendre qu'il y a aussi des cubes qui sont cachés et dont il faut tenir compte et que leur existence est révélée par la présence de cubes placés au-dessus.

- Imaginer ou réaliser les constructions avec des cubes à disposition en classe.

- Dénombrer les cubes qui composent chaque construction. Le dénombrement peut se faire par comptage un a un ou en recourant à des calculs (par exemple construction de Laurent 3 × 4 + 4 + 1 = 17 ; celle de Jean 3 × 2 × 3 = 18 celle d’André 3 × 3 + 2 × 2 + 1 = 16) ou calculs similaires.

Notions mathématiques

cube, empilement, vision spatiale, perspective, cavalière, face, dénombrement

Résultats

24.I.07

Points attribués, sur 1130 classes de 14 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (Laurent : 17 cubes, Jean : 18 cubes, André : 16 cubes) avec explication de la procédure utilisée (flèches indiquant les cubes cachés, calculs, détails du comptage par rangs ou par piles, …)
• 3 points: Réponse correcte sans explications ou explications partielles (pour une seule construction, par exemple)
  ou une seule erreur de comptage en plus ou en moins, sur une des constructions
• 2 points: Réponse avec une erreur de comptage en plus ou en moins sur deux des constructions
• 1 point: Réponse erronée avec erreur de comptage en plus ou en moins sur les trois constructions
  ou comptage seulement des cubes visibles (14 cubes pour chacune des trois constructions)
• 0 point: Incompréhension du problème (par exemple comptage de toutes les faces visibles même celles qui appartiennent à un même cube : Laurent 29, Jean 21, André 24)

Procédures, obstacles et erreurs relevés

La stratégie la plus fréquente (pour les trois quarts des copies) est de compter les cubes visibles et d'imaginer les cubes invisibles ou nécessaires pour soutenir ceux qui sont visibles. Une autre stratégie (pour environ un cinquième des copies, principalement en catégorie 5), consiste à compter les cubes par colonnes uu par étages. Quelquefois la décomposition des assemblages est accompagnée de dessins en trois dimensions ou elle se réfère à une construction effective avec des cubes disponibles en classe.

Il y a très peu de copies blanches, ce qui permet de dire que le problème est parfaitement adapté aux catégories auxquelles il a été proposé.

Dans de rares copies auxquelles ont été attribuées "0 point", même si le comptage des cubes est mentionné,les élèves ont voulu utiliser ces résultats pour exécuter des calculs ultérieures non demandés et incohérents (moyenne, produits ...) dénotant une incompréhension du problème.

Parmi les autres erreurs on relève celles où les enfants n'ont compté que les cubes visibles et celles où le comptage des cubes est imprécis dans les constructions de Laurent et d'André qui sont irrégulières alors que le parallélépipède de Jean est analysé correctement.

Exploitations didactiques

Le problème peut être proposé au début d'une parcours sur la visualisation spatiale, en le faisant éventuellement précéder d'activités avec matériel de façon à pouvoir mieux analyser la progression des compétences à propos de ce thème.

Il semble en outre convenir à des élèves de catégorie 3 dans le cas où l'on souhaiterait aborder ce thème à ce niveau scolaire. À cet effet on peut simplifier les dessins des assemblages ou les varier, en y mettant plus de cubes visibles.

Le problème peut aussi être proposé aux niveaux de l'école secondaire du premier degré pour revenir sur le thème de la visualisation spatiale, en adaptant évidemment la complexité des assemblages par l'augmentation du nombre de cubes, en particulier de ceux qui ne sont pas visibles.

Pour aller plus loin

On peut imaginer de proposer en classe la construction de solides "étranges et complexes" composés de cubes identiques et de les représenter en perspective cavalière sur des feuilles à réseaux pointillés adaptés à ce type de représentation.

On peut aussi intervertir le processus en partant de dessins en perspective cavalière et en demandant aux élèves de réaliser matériellement les solides, ou encore de travailler en deux groupes: l'un prépare les dessins et l'autre construit les solides avant de confronter ensemble les résultats. Il s'agit alors de travailler sur le passage réciproque de l'espace à 2 dimensions à celui de l'espace à 3 dimensions.