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Pyramides bicolores

Identification

Rallye: 24.F.13 ; catégories: 6, 7, 8, 9 ; domaines: 3D, FN, OPN
Familles:

Résumé

Dans un contexte de constructions pyramidales utilisant des cubes, additionner les carrés des premiers nombres impairs et des premiers nombres pairs, sachant qu’une des deux sommes est égale à 165.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre le mode de constructions des tours, à partir des exemples donnés et des règles décrites :

les nombres de cubes utilisés pour les différents étages constituent la suite des carrés des nombres naturels 1, 4, 9, 16, … ;
les tours peuvent avoir 2, 4, 6, 8 étages
le total des cubes d’une couleur peu être la somme des carrés des nombres pairs ou celle des carrés de nombres impairs.

- Calculer ces sommes de carrés

pour les nombres impairs : 1 ; 10 (1 + 9) ; 35 (10 + 25) ; 84 (35 + 49) ; 165 (94 + 81) …
pour les nombres pairs : 4 ; 20 (4 + 16) ; 56 (20 + 36) ; 120 (56 + 64) ; 220 (120 + 100) …

- En tirer la réponse correcte : 220

Notions mathématiques

carré, cube, suite, fonction quadratique, suite de carrés, addition, multiplication, pair, impair

Résultats

24.F.13

Points attribués, sur 218 classes de 17 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 6	12 (18%)	3 (5%)	13 (20%)	17 (26%)	21 (32%)	66	2.48
Cat 7	6 (9%)	6 (9%)	8 (12%)	25 (38%)	21 (32%)	66	2.74
Cat 8	2 (3%)	1 (2%)	7 (12%)	22 (38%)	26 (45%)	58	3.19
Cat 9	0 (0%)	2 (7%)	5 (18%)	7 (25%)	14 (50%)	28	3.18
Total	20 (9%)	12 (6%)	33 (15%)	71 (33%)	82 (38%)	218	2.84
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte (220 cubes blancs) bien expliquée (dessins, calculs,…) avec explication du rejet de l’autre type de tours avec un cube blanc au sommet
3 points: Réponse correcte avec des explications incomplètes ou peu claires.
2 points: Procédure correcte mais réponse erronée, due à une seule erreur dans le comptage ou dans le calcul.
ou procédure correcte mais réponse “120 cubes blancs” parce qu’on oublie que l’étage de base et celui du haut doivent être de couleurs différentes et qu’on s’arrête donc au neuvième étage de la pyramide.
1 point: Début de raisonnement correct, par exemple avec calcul au moins des cinq ou six premiers étages.
0 point: Incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT