Soupe en promotion

Identification

Rallye: 24.F.17 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: 3D, GM
Familles:

• LAV - Utiliser des longueurs, surfaces et volumes dans l'espace
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/VOL - Déterminer des aires et/ou périmètres et/ou volumes

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Résumé

Calculer le diamètre d'un cylindre dont le volume est supérieur de 15% à celui d’un autre cylindre de même hauteur et dont le diamètre est connu.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Comprendre que le volume des boites préparées pour la promotion est supérieur de 15% au volume des boites habituellement utilisées, à savoir 1,15 litres ou 1150 cm³.

- Déterminer la hauteur des boites hors promotion : après avoir converti 1 litre en 1 000 cm³ : la superficie de base est égale à $\pi \times (8,4/2)^2 \approx 55.42$ cm² (pour $\pi = 3.142$), $\pi \times (8,4/2)^2 \approx 55.39$ cm² (pour $\pi = 3.14$), donc la hauteur est $1000/55.42 \approx 18,04$ cm ou $1000/55.39 \approx 18.05$ cm

- Déterminer l'aire de la base des nouvelles boites : $1150/18.04 \approx 1150/18.05 \approx  63.7$ cm², puis le diamètre : $2 \times \sqrt{63.7}/\pi \approx 9.0$ cm.

Ou utiliser les proportions pour trouver directement l’aire de base des boites en promotion

- Déterminer l’aire de base des boites habituellement utilisées : $\pi \times (8.4/2)^2 \approx 55.42$

- Calculer l’aire de base des boites en promotion : V : $55.42 = (V \times 1.15) : x$ ; $x \approx 63.7$ ; puis le diamètre : $2 \times \sqrt{63.7}/\pi  \approx 9,0$ cm

Ou utiliser une procédure algébrique :

- Si, respectivement, $V$ et $V'$ sont les volumes des boites hors promotion et en promotion, $h$ leur hauteur et $d$ et $d'$ leurs diamètres de base, on a : $V = 1$ litre ; $V = 1000$ cm³, $d = 8.4$ cm, $V’= V (1 + 0.15)$ = 1150$ cm³.

- Calculer $V'$ en fonction de $d'$ : $V' = h \times \pi \times (d'/2)^2$ et $h = V/(\pi \times (d/2)2)$, d’où on tire : $V '= V/(\pi \times(d/2)^2) \times \pi \times (d'/2)^2$. Ce qui donne : $V '= V \times (d'/d)^2$.

- Résoudre l'équation d’inconnue d’ pour calculer sa valeur : $d'= d \times \sqrt{V'/V} = d \times \sqrt{1.15} ≈ 9$ cm.

Notions mathématiques

volume, cylindre, diamètre, hauteur, pourcentage

Résultats

24.F.17

Points attribués, sur 104 classes de 16 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (9,0 cm ou 9 cm) avec une justification claire et complète
• 3 points: Réponse correcte avec des justifications peu claires ou incomplètes, par exemple de fausses égalités résultant de calculs enchainés, ou du non-respect de l'approximation
  ou procédure correcte et bien expliquée, mais donnée de la mesure du rayon seul (4,5)
  ou procédure correcte et bien expliquée, mais une erreur dans les calculs numériques
• 2 points: Réponse correcte sans aucune explication
  ou seulement calcul de la hauteur de la nouvelle boite, h '= 18 cm, avec des explications ou des calculs corrects
• 1 point: Début de recherche correcte, par exemple, calcul du volume des nouvelles boites, V'= 1,15 litres = 1 150 cm3
  ou procédure correcte, mais avec une réponse erronée due à une erreur dans la conversion des litres en centimètres cubes
• 0 point: Incompréhension du problème