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Banque de problèmes du RMT3d67-fr |
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Calculer le diamètre d'un cylindre dont le volume est supérieur de 15% à celui d’un autre cylindre de même hauteur et dont le diamètre est connu.
Analyse de la tâche a priori
- Comprendre que le volume des boites préparées pour la promotion est supérieur de 15% au volume des boites habituellement utilisées, à savoir 1,15 litres ou 1150 cm3.
- Déterminer la hauteur des boites hors promotion : après avoir converti 1 litre en 1 000 cm3 : la superficie de base est égale à $\pi \times (8,4/2)^2 \approx 55.42$ cm2 (pour $\pi = 3.142$), $\pi \times (8,4/2)^2 \approx 55.39$ cm2 (pour $\pi = 3.14$), donc la hauteur est $1000/55.42 \approx 18,04$ cm ou $1000/55.39 \approx 18.05$ cm
- Déterminer l'aire de la base des nouvelles boites : $1150/18.04 \approx 1150/18.05 \approx 63.7$ cm2, puis le diamètre : $2 \times \sqrt{63.7}/\pi \approx 9.0$ cm.
Ou utiliser les proportions pour trouver directement l’aire de base des boites en promotion
- Déterminer l’aire de base des boites habituellement utilisées : $\pi \times (8.4/2)^2 \approx 55.42$
- Calculer l’aire de base des boites en promotion : V : $55.42 = (V \times 1.15) : x$ ; $x \approx 63.7$ ; puis le diamètre : $2 \times \sqrt{63.7}/\pi \approx 9,0$ cm
Ou utiliser une procédure algébrique :
- Si, respectivement, $V$ et $V'$ sont les volumes des boites hors promotion et en promotion, $h$ leur hauteur et $d$ et $d'$ leurs diamètres de base, on a : $V = 1$ litre ; $V = 1000$ cm3, $d = 8.4$ cm, $V’= V (1 + 0.15)$ = 1150$ cm3.
- Calculer $V'$ en fonction de $d'$ : $V' = h \times \pi \times (d'/2)^2$ et $h = V/(\pi \times (d/2)2)$, d’où on tire : $V '= V/(\pi \times(d/2)^2) \times \pi \times (d'/2)^2$. Ce qui donne : $V '= V \times (d'/d)^2$.
- Résoudre l'équation d’inconnue d’ pour calculer sa valeur : $d'= d \times \sqrt{V'/V} = d \times \sqrt{1.15} ≈ 9$ cm.
volume, cylindre, diamètre, hauteur, pourcentage
Points attribués, sur 104 classes de 16 sections:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
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Cat 8 | 16 (29%) | 12 (22%) | 5 (9%) | 12 (22%) | 10 (18%) | 55 | 1.78 |
Cat 9 | 3 (11%) | 11 (39%) | 0 (0%) | 2 (7%) | 12 (43%) | 28 | 2.32 |
Cat 10 | 4 (19%) | 2 (10%) | 0 (0%) | 2 (10%) | 13 (62%) | 21 | 2.86 |
Total | 23 (22%) | 25 (24%) | 5 (5%) | 16 (15%) | 35 (34%) | 104 | 2.14 |
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
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