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Minestra in promozione

Identificazione

Rally: 24.F.17 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: 3D, GM
Famiglie:

Sunto

Calcolare il diametro della base di un cilindro il cui volume è maggiore del 15% di quello di un altro cilindro della stessa altezza e di diametro noto.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Comprendere che il volume interno delle lattine preparate per la promozione è maggiore del 15% del volume delle lattine solitamente utilizzate, cioè è 1,15 litri oppure 1150 cmcm³.

- Determinare l’altezza delle lattine non in promozione dopo aver trasformato un litro in 1000 cmcm³: l’area di base è uguale a $\pi \times (8,4/2)^2 \approx 55.42$ cm² (pour $\pi = 3.142$), $\pi \times (8,4/2)^2 \approx 55.39$ cm² (per $\pi = 3.14$), da cui l’altezza è $1000/55.42 \approx 18,04$ cm ou $1000/55.39 \approx 18.05$ cm

- Determinare l’area della base delle nuove lattine: $1150/18.04 \approx 1150/18.05 \approx 63.7$ cm², poi il diametro: : $2 \times \sqrt{63.7}/\pi \approx 9.0$ cm.

Oppure uso delle proporzioni per trovare direttamente l’area di base delle lattine in promozione:

- Determinare l’area di base delle lattine non in promozione: $\pi \times (8.4/2)^2 \approx 55.42$

- Calcolare l’area di base delle lattine in promozione: V : $55.42 = (V \times 1.15) : x$ ; $x \approx 63.7$ ; poi il diametro: $2 \times \sqrt{63.7}/\pi \approx 9,0$ cm

Oppure con procedura algebrica (mediante il calcolo letterale):

- Se $V$ e $V’$ indicano rispettivamente i volumi delle lattine prima della promozione e in promozione, $h$ la loro altezza e $d$ e $d’$ i rispettivi diametri di base, si ha: $V = 1$ litre ; $V = 1000$ cm³, $d = 8.4$ cm, $V’= V (1 + 0.15)$ = 1150$ cm³.

- Calcolare $V’$ in funzione di $d’$: $V' = h \times \pi \times (d'/2)^2$ et $h = V/(\pi \times (d/2)2)$, d’où on tire : $V '= V/(\pi \times(d/2)^2) \times \pi \times (d'/2)^2$. Ce qui donne : $V '= V \times (d'/d)^2$.

- Risolvere l’equazione in $d’$ per calcolarne il valore: $d'= d \times \sqrt{V'/V} = d \times \sqrt{1.15} ≈ 9$ cm.

Risultati

24.F.17

Punteggi attribuiti su 104 classi di 16 sezioni:

Categoria	0	1	2	3	4	Nb.classi	Media
Cat 8	16 (29%)	12 (22%)	5 (9%)	12 (22%)	10 (18%)	55	1.78
Cat 9	3 (11%)	11 (39%)	0 (0%)	2 (7%)	12 (43%)	28	2.32
Cat 10	4 (19%)	2 (10%)	0 (0%)	2 (10%)	13 (62%)	21	2.86
Totale	23 (22%)	25 (24%)	5 (5%)	16 (15%)	35 (34%)	104	2.14
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

4: Risposta corretta (9,0 cm o 9 cm) con una giustificazione completa e chiara
3: Risposta corretta con giustificazione poco chiara o incompleta, per esempio false uguaglianze risultato di calcoli a catena oppure il non rispetto dell’approssimazione
oppure procedura corretta e ben spiegata, ma esplicitata solo la misura del raggio (4,5)
oppure procedura corretta e ben spiegata, ma errore in un calcolo numerico
2: Risposta corretta senza alcuna giustificazione
oppure solamente calcolo dell’altezza della nuova lattina, h’ = 18 cm, con descrizione della procedura o calcoli
1: Inizio di ricerca corretto, per esempio calcolo del volume delle nuove lattine, V’ = 1,15 litre = 1150 cm³
oppure procedura corretta, ma risposta errata causata da un errore nella trasformazione dei litri in centimetri cubi
0: Incomprensione del problema