Banque de problèmes du RMT
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Déterminer les dimensions entières d’un parallélépipède rectangle de volume 2016 cm3, dont la somme des longueurs de toutes les arêtes est minimale.
Analyse de la tâche a priori
- Vérifier les données pour 2014 pour s’assurer que les conditions sont respectées. Comprendre qu’il faut déterminer les trois dimensions de façon à ce que leur produit soit 2014 (en référence à la formule donnant le volume d’un parallélépipède rectangle) et que leur somme soit égale à 296 : 4 = 74. Décomposer 2014 en produit de facteurs et s’apercevoir que les trois dimensions ne peuvent être que 53, 19, 2 et que leur somme est effectivement 74. Procéder de même pour trouver les dimensions du parallélépipède formé de 2015 cubes et dont la somme des trois dimensions est 49 : 31, 13, 5 (leur produit est 2015).
- Comprendre qu’il s’agit de trouver tous les triplets de trois entiers naturels dont le produit est 2016 et de choisir celui dont la somme des termes est minimale.
- Se rendre compte, avant de former les triplets, qu’il faut déterminer tous les diviseurs de 2016 (il y en a 36) ou décomposer 2016 en facteurs premiers : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7.
- Identifier tous les triplets de diviseurs à partir de (1; 1; 2016), puis (1; 2; 1008), (1; 3; 672), … (2; 2; 504), (6; 6; 56) … (6; 7; 48), … (8; 9; 28), … (12; 12; 14) et constater que la somme des arêtes diminue quand les différences des dimensions prises deux à deux diminuent.
- Examiner ensuite les triplets de nombres de même ordre de grandeur : sélectionner, par exemple, les triplets dont un des nombres est 14. Constater que la somme des deux autres termes augmente en même temps que leur différence, pour le triplet (12 ; 12 ; 14) la somme est 24 + 14 = 38 (et donc la somme de toutes les arêtes est 4 × 38 = 152) ; pour (9 ; 14 ; 16) la somme est 25 + 14 = 39 (et 4 × 39 = 156), pour (8 ; 14 ; 18) la somme est 26 + 14 = 40 (et 4 × 40 = 160), pour (6 ; 14 ; 24) la somme est 30 + 14 = 44 (et 4 × 44 = 176);
Les mêmes constatations peuvent être faites sur un triplet contenant le nombre 12 : pour (12 ; 12 ; 14) la somme totale est 4 × 38 ; pour (8 ; 12 ; 21) la somme totale est 4 × 41 ; pour (6 ; 12 ; 28) la somme totale est 4 × 46 ; …
- En déduire que les dimensions du parallélépipède 2016 sont, en cm, 12, 12 et 14.
Ou
- Constater que pour avoir la somme minimale, il faut éviter que figurent de très grands nombres dans le triplet (et par conséquent également de très petits nombres), et donc qu’il faut écarter 2016, 1008, 504, 252, ….
- Analyser les triplets dont les nombres sont proches les uns des autres. Comme le cube d’un nombre le plus proche de 2016 est 133 = 2197 et que 13 n’est pas un diviseur de 2016, il faut choisir le triplet dans lequel les termes sont voisins de 13, donc (12, 12, 14) dont la somme est 38.
parallélipipède, rectangle, cube, arête, longueur, volume, minimum
Points attribués, sur 46 classes de 6 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 13 (52%) | 5 (20%) | 4 (16%) | 1 (4%) | 2 (8%) | 25 | 0.96 |
| Cat 10 | 9 (43%) | 7 (33%) | 0 (0%) | 0 (0%) | 5 (24%) | 21 | 1.29 |
| Total | 22 (48%) | 12 (26%) | 4 (9%) | 1 (2%) | 7 (15%) | 46 | 1.11 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
(c) ARMT, 2016-2024