I cubi dell'anno

Identificazione

Rally: 24.F.19 ; categorie: 9, 10 ; ambiti: 3D, OPN
Famiglie:

• AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali
• DIV - Ricercare dei multipli e/o dei divisori
• VS - Visualizzare nello spazio

Remarque et suggestion

Sunto

Determinare le dimensioni, in numeri naturali, di un parallelepipedo rettangolo di volume 2016 cm3, in cui la somma delle lunghezze di tutti gli spigoli sia minima.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Verificare i dati per il 2014, per assicurarsi che le condizioni siano state rispettate. Capire che bisogna determinare le tre dimensioni in modo che il prodotto sia 2014 (riferendosi alla formula del volume del parallelepipedo rettangolo) e che la loro somma sia uguale a 296:4 cioè 74. Scomporre in fattori 2014 e scoprire che le tre dimensioni possono essere solo 53, 19, 2, la cui somma è effettivamente 74. Analogamente trovare le tre dimensioni del parallelepipedo con 2015 cubetti in modo che la somma sia 49: 31, 13, 5 (il cui prodotto è 2015).

- Comprendere che si tratta di trovare tutte le terne di numeri naturali il cui prodotto è 2016 e di scegliere quella in cui la somma di tutti i termini è minima.

- Rendersi conto che, prima di formare le terne, occorre individuare tutti i divisori di 2016 (ce ne sono 36) o decomporre 2016 in fattori primi: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7.

- Individuare tutte le terne di divisori a partire da (1; 1; 2016), poi (1; 2; 1008), (1; 3; 672), … (2; 2; 504), (6; 6; 56) … (6; 7; 48), … (8; 9; 28), … (12; 12; 14) e constatare, dopo qualche verifica, che la somma degli spigoli diminuisce quando le differenze a due a due tra le dimensioni diminuiscono.

- Occorre quindi esaminare tutti le terne di numeri dello stesso ordine di grandezza arrivando a stabilire che le terne con tutti numeri di due cifre devono contenere o il 12 o il 14. Se, per esempio, si scelgono le terne contenenti 14, si vede che la somma degli altri due termini aumenta allorquando aumenta la loro differenza, di conseguenza, per la terna (12 ; 12 ; 14) la somma è 24 + 14 = 38 (e quindi la somma di tutti gli spigoli è 4 × 38 = 152); mentre per (9 ; 14 ; 16) la somma è 25 + 14 = 39 (quindi 4 × 39 = 156), per (8 ; 14 ; 18) la somma è 26 + 14 = 40 (4 × 40 = 160), per (6 ; 14 ; 24) la somma è 30 + 14 = 44 (4 × 44 = 176), … ; la stessa constatazione si può fare a partire dalle terne contenenti 12: per (12 ; 12 ; 14) la somma totale è 4 × 38 ; per (8 ; 12 ; 21) la somma totale è 4 × 41; per (6 ; 12 ; 28) la somma totale è 4 × 46; …

- Dedurne che le dimensioni del parallelepipedo del 2016 sono, in cm, 12, 12 e 14.

Oppure:

- Constatare che per avere la somma minima occorre evitare che nella terna siano presenti numeri molto “grandi” (e di conseguenza anche numeri molto “piccoli”), cioè occorre scartare 2016, 1008, 504, 252, ….

- Analizzare quindi le terne i cui numeri sono vicini fra loro. Poiché il cubo più vicino a 2016 è 133 = 2197 e 13 non è un divisore di 2016, occorre scegliere la terna i cui termini sono vicini a 13, quindi (12, 12, 14) la cui somma fa 38.

Risultati

24.F.19

Punteggi attribuiti su 46 classi di 6 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4: Risposta completa e corretta (12, 12, e 14 cm) con spiegazione sulla variazione degli spigoli a parità di volume e verifica sulle terne di numeri “vicini” oppure ragionamento a partire dalla radice cubica di 2016
• 3: Risposta completa e corretta con solo la verifica sulle terne di numeri “vicini”
• 2: Risposta completa e corretta senza spiegazioni
  oppure una terna di numeri “vicini” per i quali la somma degli spigoli è compresa tra 4 × 39 e 4 × 44, con spiegazioni
• 1: Una delle terne di numeri “vicini” per i quali la somma degli spigoli è compresa tra 4 × 39 e 4 × 44, senza spiegazioni
  oppure inizio di ragionamento in cui compaiono almeno tutti i divisori di 2016
  oppure solo verifica delle condizioni per gli anni 2014, 2015
• 0: Incomprensione del problema

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