Les cubes de Nicolas

Identificazione

Rally: 26.II.10 ; categorie: 6, 7, 8 ; ambiti: 3D, LR
Famiglie:

• CO - Chercher des arrangements ou des combinaisons
• CO/DEN - Dénombrer des combinaisons ou des arrangements
• VS - Visualiser dans l'espace

Remarque et suggestion

Sunto

Déterminer toutes les manières possibles de colorer des cubes avec cinq couleurs différentes, de manière que les faces opposées aient la même couleur et que les faces voisines aient des couleurs différentes.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analyse a priori:

- Comprendre que trois couleurs sont nécessaires et suffisantes pour colorer un cube, étant donné qu’un cube a seulement trois paires de faces opposées et que des faces voisines doivent avoir des couleurs différentes. Comprendre que deux cubes colorés correctement sont différents s’ils diffèrent par au moins une couleur.

- Comprendre que c'est seulement le choix des trois couleurs qui distingue les cubes entre eux, l'ordre du choix n’intervient pas. Déterminer ensuite toutes les manières possibles avec lesquelles on peut choisir un groupe de trois couleurs différentes parmi cinq couleurs.

- Commencer par choisir les couleurs trois à trois entre les cinq données : O, B, J, R, V, et déterminer toutes les combinaisons possibles en procédant de manière plus ou moins systématique :

  O, B, J    O, J, R    B, J, R    J, R, V
  O, B, R    O, J, V    B, J, V
  O, B, V    O, R, V    B, R, V

- Conclure qu'il y a 10 combinaisons possibles donc 10 cubes différents possibles,
oppure, construire des cubes en carton, ou dessiner des patrons, les colorer en respectant les conditions imposées et déterminer ainsi 10 cubes différents. Cependant, ces procédures ne conduisent pas à la détermination de toutes les possibilités si on ne procède pas de manière organisée.

Ou bien:

- Construire des cubes en carton, ou dessiner des patrons, les colorer en respectant les conditions imposées et déterminer ainsi 10 cubes différents. Cependant, ces procédures ne conduisent pas à la détermination de toutes les possibilités si on ne procède pas de manière organisée.

Ou bien (procédure experte):

- Utiliser un raisonnement de type combinatoire : la première couleur peut être choisie de cinq manières différentes, la seconde de quatre, la troisième de trois, on obtient donc 60 = 5 × 4 × 3 triplets ordonnés de couleurs différentes. Comme l'ordre du choix n’intervient pas, remarquer que, six par six, les triplets donnent le même cube, donc diviser 60 par 6, pour obtenir 10 cubes différents.

Nozioni matematiche

combinatoire, combinaison, cube, face, faces opposées, arête, visualisation dans l’espace

Risultati

26.II.10

Points attribués, sur 3418 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte, 10 cubes, avec une description claire et complète de la procédure (condition nécessaire et suffisante des trois couleurs, liste organisée de solutions ou raisonnement qui montre qu'il n’y en a pas d’autres ou représentation codée des couleurs des faces des cubes).
• 3 points: Réponse correcte avec une description partielle ou peu claire de la procédure ou seulement la liste des dix cubes différents sans indiquer leur nombre total,
  oppure réponse erronée (11 ou 9) à cause d'une répétition ou d'un oubli avec description claire et complète de la procédure. Exemple de répétition :

• 2 points: Description d'au moins 5 cubes différents, (réponse 5, 6, 7, 8 cubes), ou plus d’un doublon en plus des 10 solutions correctes (réponse 12, 13, 14, 15 cubes).
• 1 point: Réponse correcte sans description de la procédure,
  oppure détermination de 3 ou 4 cubes différents avec présence éventuelle de doublons,
  oppure début de raisonnement correct de type combinatoire, mais pas mené à terme.
• 0 point: Incompréhension du problème ou toute autre réponse.

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