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Banca di problemi del RMT

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I cubi di Nicola

Identificazione

Rally: 26.II.10 ; categorie: 6, 7, 8 ; ambiti: 3D, LR
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Determinare tutti i modi possibili di colorare cubi con cinque colori in modo che facce opposte abbiano lo stesso colore e facce vicine abbiano colori diversi.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Capire che sono necessari (e sufficienti) tre colori per colorare un cubo, dato che ha solo tre coppie di facce opposte e che le facce vicine devono avere colori differenti. Comprendere che due cubi colorati correttamente sono diversi se differiscono almeno per un colore.

- Capire che è solo la scelta dei tre colori che distingue i cubi tra loro, l’ordine di scelta non ha importanza. Determinare poi tutti i modi possibili con cui si possono scegliere un gruppo di tre colori diversi tra i cinque colori assegnati.

- Iniziare quindi a scegliere i colori a tre a tre tra i cinque dati, A, B, G, R, V, e individuare tutte le possibili combinazioni, procedendo in modo più o meno sistematico:

   A, B, G                A, G, R             B, G, R        G, R, V
   A, B, R                A, G, V             B, G, V
   A, B, V                A, R, V             B, R, V 

- Concludere che ci sono 10 combinazioni possibili, quindi vi sono 10 cubi diversi.

Oppure:

- Costruire cubi di carta o disegnarne lo sviluppo, colorarli seguendo le condizioni imposte e determinare così 10 cubi diversi. Queste procedure rischiano però di non portare all’individuazione di tutte le possibilità se non si procede in modo organizzato.

Oppure (procedura esperta):

- Utilizzare un ragionamento di tipo combinatorio: il primo colore si può scegliere in cinque modi diversi, il secondo in quattro, il terzo in tre quindi si ottengono 60 = 5 × 4 × 3 terne ordinate di colori. Poiché non importa l’ordine di scelta, riconoscere che, a sei a sei, le terne danno luogo allo stesso cubo. Dividere quindi 60 per 6, ottenendo 10 cubi diversi.

Nozioni matematiche

combinatoire, combinaison, cube, face, faces opposées, arête, visualisation dans l’espace

Risultati

26.II.10

Punti attribuiti, su 3418 classi di 20 sezioni:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 6667 (47%)255 (18%)249 (18%)113 (8%)128 (9%)14121.14
Cat 7461 (39%)208 (17%)222 (19%)110 (9%)195 (16%)11961.47
Cat 8275 (34%)149 (18%)132 (16%)84 (10%)170 (21%)8101.66
Totale1403 (41%)612 (18%)603 (18%)307 (9%)493 (14%)34181.38
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:


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