Les dés

Identification

Rallye: 26.II.14 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: 3D, OPN
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• VS - Visualiser dans l'espace

Remarque et suggestion

Résumé

À partir d'une photo qui montre quatre dés particuliers empilés contre un mur, trouver le nombre de points noirs qui ne peuvent pas être vus par un observateur qui peut se déplacer.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre que ces dés particuliers ont aussi 6 faces, avec de 1 à 6 points, mais que ces points ne sont pas disposés comme les dés habituels. Il faut donc imaginer ou dessiner ces dés pour comprendre la disposition des points par l’observation de la photo et par déduction trouver les faces avec les points cachés.

- Comprendre qu’il y a 3 faces non visibles pour le premier dé en bas à gauche, 5 pour le second dé en bas au centre, 3 pour le troisième dé en bas à droite et 2 pour le quatrième dé en haut.

- Pour compter les points noirs cachés on peut procéder de plusieurs manières.

a) Par exemple en trois temps :

- 1) Remarquer d’abord que le dé du centre cache tous ses points sauf le 2, il porte donc 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19 points noirs invisibles.

- Puis on peut situer toutes les faces à 3 points et à 4 points sur les trois autres dés : face à 3 points sur le sol pour le dé de gauche, face à 4 points contre le mur pour le dé du dessus et face à 4 points contre le dé du centre pour le dé de droite, toutes invisibles ce qui fait 3 + 4 + 4 = 11 points noirs invisibles.

- Puis comprendre que le dé de droite cache les faces à 2 et 5 points contre le sol et le mur, soit 7 points noirs invisibles.

- 2) Situer ensuite la face à 1 point du dé de gauche. Remarquer pour cela que les dés de gauche et de droite présentent frontalement leurs faces à 6 points. Pour le dé de gauche, la face à 1 point ne peut être contre le mur, car la somme des points de ces faces opposées ne doit pas faire 7. Sa face à 1 point est donc visible à gauche ou invisible contre le dé du centre. Pour la situer, imaginer que l’on a planté deux vis au travers des dés de gauche et de droite, leurs têtes placées sur les faces à 6 points. En donnant un tour de vis au dé de droite, on voit la face à 1 point passer avant la face à 4 points. Le dé de gauche étant identique, pour obtenir la même chose, il faut que la face à 1 point soit collée contre le dé du centre et ne peut donc être la face visible que l’on ne voit pas sur la photo.

- 3) Il reste à trouver quelle est la face opposée à celle à 6 points. Imaginer à nouveau que l’on a planté deux vis au travers des dés du dessus et de droite, leurs têtes placées sur les faces à 3 points. En donnant un tour de vis au dé de droite, on voit la face à 1 point passer avant la face à 6 points. Pour obtenir la même chose avec le dé du dessus, il faut que la face à 1 point soit visible à gauche et la face à 6 points collée sur le dé du centre. En déduire que les faces opposées sont 6-2 et 1-5.

- Le dé de gauche cache donc les faces à 1 point et 2 points : 3 points noirs invisibles.

- Le dé du dessus ne cache pas sa face à 1 point, invisible sur la photo. Il cache donc sa face à 6 points collée contre le dé du centre.

- Conclure que le nombre des points qu’on ne peut pas voir est 46 (19 + 11 + 7 + 3 + 6) dans la réalité.

b) Ou bien par différence :

- Comprendre qu’il suffit de déduire le nombre de points visibles du nombre de points contenus par l’ensemble des dés

- Calculer le nombre de points contenus par les 4 dés : 4 x (1+2+3+4+5+6) = 84

- Orienter implicitement ou explicitement l’espace en définissant par exemple que les faces avant sont les faces visibles parallèles au mur.

- Comprendre que seulement deux faces visibles en réalité ne sont pas visibles sur la photo : les faces de droite des dés de gauche et de dessus.

- Comprendre que les dés habituels ne seront pas d’une grande utilité et que la situation nécessite une grande part de manipulation mentale.

- Pour le dé du dessus :

• Manipuler mentalement le dé de droite pour placer la face à 3 points dans le même plan et dans la même direction que la face 3 du dé du dessus ; sa face 1 est soit la face de gauche soit la face de droite.
• Déduire avec le dé du dessus que la face 5 est opposée à la face 1.

- Pour le dé de gauche :

• Manipuler mentalement le dé de droite pour placer la face 6 dans le même plan et la même direction que celle du dé de gauche et tel que la face 4 soit sur le dessus comme le dé de gauche : comme la face 3 est opposée à la face 4 la face 3 doit passer dessous et la face 1 doit passer en face de droite.
• Déduire que la face gauche du dé de gauche est la face 5

- Calculer la somme (38) des points visibles en réalité : (5 + 4 + 6) à gauche, 2 en bas au centre (6 + 1 + 3), à droite, (1 + 2 + 3 +5) en haut.

- Calculer la somme des points non visibles en réalité : 84 – 38 = 46.

c) Ou bien, pour positionner le 2 et le 5 correctement, construire un développement du cube et observer l'orientation des points qui forment la face 6 (vertical/horizontal) et des points qui forment la face 3 (diagonale de gauche à droite ou de droite à gauche). En manipulant le dé obtenu observer que la face opposée au 1 est la face 5 et la face opposée au 6 est la face 2.

- Les faces non visibles du dé de gauche sont par conséquent, la face 3 opposée au 4, la face 1 et la face 2, pour un total de 6 points non visibles.

- Pour le dé du haut, on sait que la face 4 est opposée à la face 3, et la face 6 n'est pas visible, 10 points ne sont donc pas visibles en tout.

- Pour les deux autres dés, on raisonne par soustraction : le total des points d’un dé est 21. Pour le dé central en bas, on a 21–2 = 19. Pour le dé de droite, 21–10 = 11.

- Le total des points noirs non visibles est donc : 6 + 10 + 19 + 11 = 46.

Notions mathématiques

visualisation dans l'espace, dé, cube, face, déduction

Résultats

26.II.14

Points attribués, sur 1211 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (46) avec des explications claires et complètes.
• 3 points: Réponse correcte (46) mais avec des explications incomplètes ou pas claires.
  ou réponse 50, obtenue en permutant les positions du 1 et du 5 dans le dé en bas à gauche, avec des explications complètes
  ou deux réponses (50 et 46) avec des explications complètes, dues à l’incapacité d'établir avec certitude combien il y a de points sur la face de gauche du dé en bas à gauche.
• 2 points: Réponse correcte sans explications,
  ou réponse 52 pour avoir aussi considéré comme invisibles les points sur les faces de gauche, du dé en haut ainsi que du dé en bas à gauche.
• 1 point: Réponse erronée due à des erreurs dans la détermination des points de trois faces cachées, ne tenant pas compte du 5 opposé à la face 1 et du 6 en face du 2,
  ou début de recherche cohérente.
• 0 point: Incompréhension du problème

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