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Banca di problemi del RMT3d72-it |
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Guardando una foto che mostra 4 dadi particolari per la loro costituzione e accostati ad una parete, determinare il numero di punti neri che non possono essere visti da un osservatore comunque si sposti.
Analisi a priori
- Comprendere che anche questi dadi particolari hanno sei facce, con i punti da 1 a 6, ma che questi punti non sono disposti come nei dadi abituali. Bisogna dunque, dall’osservazione della foto, immaginare o disegnare questi dadi per comprendere la disposizione dei punti e per deduzione trovare le facce con i punti nascosti.
- Comprendere che ci sono 3 facce non visibili per il primo dado in basso a sinistra, 5 per il secondo dado in basso al centro, 3 per il terzo dado in basso a destra e 2 per il quarto dado in alto.
- Per contare i punti neri nascosti si può procedere con più modalità.
a) Per esempio in tre tempi:
- 1) Osservare prima di tutto che il dado centrale nasconde tutti i suoi punti tranne il 2, esso ha quindi 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19 punti neri invisibili.
- Poi si possono collocare tutte le facce con 3 punti e con 4 punti sugli altri tre dadi: faccia a 3 punti sul pavimento per il dado di sinistra, faccia a 4 punti contro il muro per il dado in alto e faccia a 4 punti contro il dado centrale per il dado di destra, tutte invisibili, che fa 3 + 4 + 4 = 11 punti neri invisibili.
- Poi comprendere che il dado di destra nasconde le facce con 2 e 5 punti contro il pavimento e il muro, quindi 7 punti neri invisibili.
- 2) Localizzare poi la faccia da 1 punto del dado di sinistra. Per ottenere questo, notare che i dadi di sinistra e di destra presentano frontalmente le loro facce da 6 punti. Per il dado di sinistra, la faccia da 1 punto non può essere contro il muro, perché la somma dei punti di queste facce opposte non deve fare 7. La sua faccia da 1 punto è dunque visibile a sinistra o invisibile contro il dado di centro. Per situarla, immaginare di aver piantato due viti attraverso i dadi di sinistra e di destra, con le teste piantate sulle facce da 6 punti. Dando un giro di vite al dado di destra, si vede la faccia da 1 punto passare prima della faccia da 4 punti. Essendo il dado di sinistra identico, per ottenere la stessa cosa, occorre che la faccia da 1 punto sia posizionata contro il dado centrale e non può dunque essere la faccia visibile che non si vede sulla foto.
- 3) Resta da trovare qual è la faccia opposta a quella da 6 punti. Immaginare di nuovo che si siano piantate due viti attraverso i dadi in alto e a destra, con le teste poste sulle facce da 3 punti. Dando un giro di vite al dado di destra, si vede la faccia da 1 punto passare prima della faccia da 6 punti. Per ottenere la stessa cosa con il dado che è sopra, bisogna che la faccia da 1 punto sia visibile a sinistra e la faccia da 6 punti contro il dado centrale. Dedurne che le facce opposte sono 6-2 e 1-5.
- Il dado di sinistra nasconde quindi le facce da 1 punto e 2 punti: 3 punti neri invisibili.
- Il dado che è sopra non nasconde la sua faccia da 1 punto, invisibile sulla foto. Nasconde dunque la faccia da 6 punti appoggiata contro il dado centrale.
- Concludere che il numero dei punti che non si possono vedere è 46 (= 19 + 11 + 7 + 3 + 6) nella realtà.
b) Oppure, per differenza:
- Comprendere che basta dedurre il numero di punti visibili dal numero di punti contenuti nell’insieme dei dadi.
- Calcolare il numero di punti contenuti nei quattro dadi: 4 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 84.
- Orientare implicitamente o esplicitamente lo spazio definendo per esempio che le facce davanti sono le facce visibili parallele al muro.
- Comprendere che solo due delle facce visibili in realtà non sono visibili sulla foto: le facce di destra dei dadi di sinistra e di sopra.
- Comprendere che i dadi abituali non sarebbero di grande utilità e che la situazione necessita in gran parte di una manipolazione.
- Per il dado di sopra:
- Per il dado di sinistra:
- Calcolare la somma (38) dei punti visibili da qualunque punto di vista: (5 + 4 + 6) a sinistra, 2 al centro in basso, (6 + 1 + 3) a destra, (1 + 2 + 3 + 5) in alto
- Calcolare la somma dei punti che Carlo non può vedere in alcun modo: 84 – 38 = 46.
c) Oppure, per posizionare correttamente il 2 e il 5 costruire uno sviluppo del cubo ed osservare l’orientamento dei punti che formano il 6 (verticali/orizzontali) e dei punti che formano il 3 (diagonale da sinistra a destra o da destra a sinistra). Manipolando il dado ottenuto si osserva che la faccia opposta all’1 è il 5 e la faccia opposta al 6 è il 2. Di conseguenza le facce non visibili del dado di sinistra sono, oltre alla 3 opposta al 4, la 1 e la 2, per un totale di 6 punti non visibili; per il dado in alto si deduce che oltre alla faccia 4 opposta al 3 non è visibile la 6, totale 10 punti non visibili. Per gli altri due dadi si ragiona con una sottrazione: totale punti su tutto il dado 21; 21 – 2 = 19 (dado centrale in basso); 21 – 10 = 11 (dado di destra). Quindi: 6 + 10 + 19 + 11 = 46.
visualisation dans l'espace, dé, cube, face, déduction
Punti attribuiti, su 1211 classi di 18 sezioni:
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
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Cat 8 | 227 (28%) | 202 (25%) | 144 (18%) | 108 (13%) | 128 (16%) | 809 | 1.64 |
Cat 9 | 49 (24%) | 32 (16%) | 41 (20%) | 37 (18%) | 47 (23%) | 206 | 2 |
Cat 10 | 31 (16%) | 51 (26%) | 24 (12%) | 26 (13%) | 64 (33%) | 196 | 2.21 |
Totale | 307 (25%) | 285 (24%) | 209 (17%) | 171 (14%) | 239 (20%) | 1211 | 1.79 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
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