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Les boîtes de Catherine

Identification

Rallye: 26.F.07 ; catégories: 4, 5, 6 ; domaines: 3D, OPN
Familles:

Résumé

A partir de trois développements partiels de boîtes à base carrée (sans couvercle), imaginer les solides correspondant et déterminer si on peut y placer 70 cubes de 1 cm d’arête.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Observer les figures et se rendre compte qu’elles montrent les trois cartons carrés après le découpage des petits carrés dans les angles de longueurs de côtés (1 cm, 2 cm, 3 cm) c’est-à-dire les développements de trois boîtes de dimensions différentes

- Se rendre compte que, en pliant les cartons selon les lignes pointillées et en faisant se rejoindre les faces latérales, on obtient des parallélépipèdes rectangles de hauteurs différentes dont les bases sont des carrés de mesures aussi différentes.

- Comprendre que la hauteur de chaque boîte est égale au côté des petits carrés découpés dans les angles et que sur chaque niveau (couche) on pourra disposer au maximum le même nombre de cubes que sur la base.

- Comprendre que pour pouvoir remplir les boîtes avec le maximum de cubes, il faut les disposer l’un contre l’autre afin de ne pas laisser d’espaces vides entre eux.

- Se rendre compte que, en comptant les carreaux, que les bases des boîtes ont des aires respectives de 64, 36 et 16 carrés et que chaque cube a ses faces égales à ces carrés.

- Puisque a hauteur de la boîte A est égale à l’arête d’un cube, on la remplira avec une seule couche de 64 cubes (8 × 8), alors que la boîte B peut contenir 72 cubes au maximum (36 + 36 ou 36 × 2), boîte C peut contenir trois couches de cubes, donc 48 (16 + 16 + 16 ou 16 × 3).

- Conclure que l’unique boîte qui peut contenir les 70 cubes est la boîte B

Ou :

- découper les figures et construire les boîtes en utilisant du papier adhésif pour rejoindre les faces latérales ; si des cubes de 1 cm d’arête sont à disposition, remplir les boîtes et compter les cubes.

Notions mathématiques

nombre naturel, multiplication, somme, cube, parallélépipède, volume, développement, patron, rectangle, carré

Résultats

26.F.07

Points attribués, sur 164 classes de 19 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 4	9 (17%)	3 (6%)	12 (22%)	9 (17%)	21 (39%)	54	2.56
Cat 5	3 (6%)	2 (4%)	10 (19%)	9 (17%)	30 (56%)	54	3.13
Cat 6	3 (5%)	0 (0%)	8 (14%)	8 (14%)	37 (66%)	56	3.36
Total	15 (9%)	5 (3%)	30 (18%)	26 (16%)	88 (54%)	164	3.02
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte (boîte B) avec, description claire et complète (au moins, la détermination du nombre de cubes maximum que chaque boîte peut contenir : B (72) et A (64) ou C (48) et les raisons du choix de la boîte B 72 > 70, alors que 64 et 48 sont plus petits que 70.
3 points: Réponse correcte (boîte B) avec description partielle de la procédure (par exemple détermination de 72, 64 et 48, sans expliquer le choix de la boîte B)
2 points: Réponse correcte (boîte B) sans description de la procédure
ou calcul du nombre de cubes par boîte (72, 64 et 48) sans le choix de la boîte B
1 point: Début de recherche cohérent ou calcul, par exemple détermination de la surface de base de chaque boîte : 64, 36 et 16
ou réponse affirmant que la boîte A est trop basse et que la boîte C est trop étroite sans tenir compte des autres dimensions
0 point: Incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT