La tenda canadese

Identificazione

Rally: 27.I.06 ; categorie: 4, 5, 6 ; ambito: 3D
Famiglie:

• VS - Visualizzare nello spazio
• VS/SV - Gestire sviluppi di solidi

Remarque et suggestion

Sunto

Scegliere le figure che possono essere considerate facce di un prisma a base triangolare (tenda canadese) fra tre coppie di triangoli isosceli e undici rettangoli di cui quattro coppie di rettangoli.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori: - Riconoscere la tenda come un solido dello spazio avente per facce 2 triangoli uguali (parte anteriore e posteriore della tenda), 2 rettangoli uguali (le due parti del tetto) e un altro rettangolo (base della tenda).

- Comprendere che uno spigolo è formato da due lati di due poligoni che sono in contatto fra loro e quindi un lato con la medesima lunghezza. Quindi i rettangoli che formano il tetto devono avere un lato congruente al lato obliquo del triangolo isoscele e l’altro a un lato del rettangolo di base; devono anche essere congruenti la base del triangolo isoscele e l’altro lato del rettangolo di base.

- Capire cosa si intende per modellino: disegno in scala ridotta della tenda che non tiene in considerazione certi elementi della realtà (picchetti, chiusura...).

- Comprendere che il modellino deve essere realizzato selezionando delle figure tra quelle proposte, senza possibilità di modificarle.

Strategie possibili:

- Procedere provando a costruire la tenda dopo aver ritagliato le differenti figure.

Oppure: Procedere per tentativi scegliendo le figure che possono andare bene dopo avere confrontato le lunghezze dei loro lati.

Oppure: Procedere per deduzioni, per esempio: osservare che tutti i triangoli sono isosceli (o equilateri) e hanno le basi di uguale lunghezza, questo implica che il rettangolo del pavimento debba avere due lati di tale lunghezza. Tra i rettangoli "non accoppiati" ce n'è solo uno che soddisfa le condizioni, il rettangolo B.

- Dedurne che i rettangoli " tetto" devono avere un lato della stessa lunghezza degli altri due lati del rettangolo B e l’altro lato della stessa lunghezza di uno dei due lati congruenti del triangolo isoscele.

- Cercare poi, per ritaglio o per misurazione, le coppie di rettangoli e di triangoli che soddisfano i vincoli per la costruzione del prisma e concludere che si tratta dei rettangoli B, per il pavimento, H e J per il tetto e dei triangoli M ed N per la parte anteriore e posteriore della tenda.

Nozioni matematiche

spazio, sviluppo, sviluppo piano, triangolo isoscele, rettangolo, prisma,prisma triangolare, piano, orizzontale, verticale, simmetria, simmetria assiale, simmetria relativa a un piano, visualizzazione spaziale

Risultati

27.I.06

Punti attribuiti su 3176 classi di 21 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori :

• 4 punti: Risposta corretta: accostamento o indicazione dei pezzi scelti (il rettangolo B, i rettangoli H e J e i triangoli M e N) con una spiegazione chiara che si riferisce alla lunghezza dei lati o ad un ritaglio ed una costruzione
• 3 punti: Risposta con indicazione dei pezzi necessari con una spiegazione incompleta o non chiara sul procedimento seguito
• 2 punti: Risposta corretta senza indicazioni sul modo in cui le figure sono state trovate
  oppure risposta parzialmente errata con spiegazione sul procedimento (con un accostamento che comprende almeno tre figure corrette)
• 1 punto: Inizio di una ricerca appropriata che mette in evidenza la ricerca di lati congruenti
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Sono stati analizzati a posteriori circa 1200 elaborati provengono dalle sezioni: Siena, Riva del Garda, Rozzano, Romagna e Parma e anche ua centinaia della Svizzera domanda.

Confrontando i risultati che si riferisce alle 4 sezioni italiane prese in esame, con quelli di tutte sezioni, corrispondenti a 3176 classi, possiamo osservare come i punteggi che si riferiscono all’insuccesso del problema (0 e 1) risultano, sebbene elevati, in linea con quelli di tutte le sezioni in modo analogo a quanto osservato nel caso dei valori di successo del problema (3 e 4 punti). Si nota, inoltre, come al passaggio da categoria categoria 4 a categoria 5 vi sia un generale abbassamento della percentuale di insuccessi parimenti ad un aumento della percentuale di successi, non così quando si passa da categoria 5 a 6. Si è notata inoltre una bassa incidenza di elaborati con valutazione pari a 3 punti. Probabilmente derivante da una indicazione di attribuzione di punteggio non eccessivamente dettagliata che dà adito, data la natura del problema, a possibilità interpretative da parte del correttore. Da segnalare che l’hanno affrontato tutti. Il numero di quelli che l’hanno consegnato il foglio “in bianco”, cioè senza trattarlo, è davvero insignificante per tutte e tre le categorie a cui è stato proposto.

Dall'analisi degli elaborati è emerso che la strategia più usata (quasi il 100%) specialmente per le categorie 4 e 5, è stata quella di: misurare con il righello i lati dei poligoni, ritagliarli e assemblarli mediante i lati congruenti per arrivare alla costruzione del modello 3D . La categoria 6 invece ha mostrato per il 20% un’altra strategia e cioè scegliere la base della tenda tra le 3 possibili ( A o B o C) e combinarle con i poligoni rimanenti facendo attenzione alla congruenza dei loro lati, scartando quelli che non potevano funzionare fino a trovare la combinazione corretta, costruendo infine il modello in 3D.

Tuttavia la configurazione risolvente è stata rilevata solo in una minoranza di protocolli. Nella maggior parte dei casi, è a livello di appropriazione del compito che si trovano gli ostacoli.

Nei protocolli che non hanno adottato come strategia la costruzione del modello, spesso non è specificata la procedura risolutiva e una sufficiente argomentazione.

Dall'osservazione dei protocolli sono stati osservati i seguenti ostacoli:

• L' immagine della tenda fornita dal testo è fuorviante in relazione al numero dei poligoni da utilizzare, all'altezza della tenda, alla trasposizione del modello materiale nella rappresentazione geometrica. Il passaggio da questo oggetto reale alla figura geometrica astratta non è facilitato, né dal disegno, dove si vede chiaramente che le dimensioni dei lati del "tetto" superano quelle del "tappeto".

• Nel testo forse andrebbe specificato che l'opzione del rettangolo del pavimento avrebbe dovuto essere scelta tra i rettangoli A - B – C, almeno per le categorie inferiori.

• I poligoni dati hanno le misure dei lati che differiscono poco creando confusione nella scelta delle figure e imprecisioni nella misurazione, nel ritaglio o nella giustapposizione dei poligoni, in particolare nelle categorie 4 e 5.

Tra gli errori rilevati si evidenzia nella maggior parte dei casi, oltre il 50% in tutte e tre le categorie la confusione tra l'altezza e il lato obliquo del triangolo con la conseguente scelta dei triangoli R e S al posto di M e N per la parte posteriore e anteriore della tenda. Nella soluzione relativa allo sviluppo del solido l'errore più frequente è stata la mancanza della verifica della coerenza delle misure. Si evidenzia inoltre che per circa il 20% si è sbagliato la scelta del numero di poligoni per costruire la tenda; infatti sono stati scelti 4 poligoni oppure 6 o 7, scelta dovuta nel primo caso alla dimenticanza del pavimento e negli altri perché hanno usato due poligoni per il pavimento oppure due poligoni per la parte anteriore e posteriore della tenda. Ovviamente là dove non si fa uso della costruzione del modello 3D, ma si preferisce usare l’immaginazione del modello senza verificare le misure, specialmente per categoria 6, si incontrano anche i maggiori insuccessi.

La tâche est complexe et exige une analyse systématique des pièces, qu’on ne perçoit que dans les copies de catégories 5 à 6. Par exemple. voici les explications d’un groupe de catégorie 6 qui a travaillé par découpages et comparaisons, sans mesures des côtés : On a découpé les rectangles A-B-C. Après on a découpé les rectangle D-E-F-G-H-J-K-L ; on a observé qu’elles allaient avec les A-B-C. Aucune des formes D-E-F-G-H-J-K-L pouvait aller avec le C, du coup on a traçé le C. Le K et le L ne pouvaient pas aller avec le A-B donc on les a tracées. On a découpé les triangles M-N-O-P-R-S. Aucun ne pouvait aller avec le D-E donc on a tracé le D-E. Le O-P n’étaient pas assez hauts donc on les a tracés. Le R-S étaient trop hauts donc les triangles pour l’arrière et l’avant sont M-N. Les deux rectangles pour le toit sont H-J. Pour le sol il reste A-B. Le A ne peut pas aller avec le M-N donc on l’a tracé. Il ne reste plus que le B. REPONSE : Sol : A Toit : H-J, triangles M-N. Avec une erreur de copie pour le « sol » (A au lieu de B).

Indicazioni didattiche

Modificare il testo del problema cercando di eliminare le ambiguità rilevate.

Il problema può essere affrontato in classe, in gruppi, dopo aver sollevato le incertezze sull'oggetto "tenda", nella fase della costruzione effettiva di un modello, con il taglio e la giustapposizione dei pezzi per scegliere quelli che corrispondono ed eliminare gli altri. Oltre alla procedura di taglio e confronto per giustapposizione, si possono anche considerare le procedure di confronto laterale per misurazione, pur essendo consapevoli dei limiti di precisione. Possiamo ovviamente modificare i rettangoli e i triangoli disponibili, aumentarne o diminuirne il numero e/o le dimensioni.

Il problema risulta essere ben inquadrato rispetto alla scelta delle categorie alle quali è stato proposto. Risulta utile se impiegato in un percorso formativo sulla didattica di questo ambito.

Proporre attività sullo sviluppo dei solidi chiedendone esplicitamente la verifica.

Se volessimo inserirlo in un segmento didattico per la costruzione della visualizzazione spaziale partendo dalle 2 D per arrivare alle 3D potremo utilizzarlo proficuamente dopo il problema 3d53-it 18.I.04 La scatola da ricoprire (Cat 3-4-5) che aveva ottenuto un punteggio medio tra 2,3 e 3,0 e il problema 3d10-it 17.I.05 Scatoline Cat (3,4,5), che aveva ottenuto un punteggio medio tra 0,8 e 1,47.

Au cours de cette activité de découpage puis de comparaison, apparaissent les notions de plan vertical et horizontal, de symétrie, de triangle isocèle, de rectangle, de prisme droit comme solide de cinq faces, dont trois rectangles avec une de leurs dimensions isométriques et deux triangles isométriques … Il est aussi possible, après la construction de la maquette, d’en dessiner un (ou plusieurs) développement(s) (patrons) ou une représentation en perspective.

Voir aussi les problèmes de la famille VS/SV - Gestire sviluppi di solidi

Per andare più lontano

Questo problema permette di lavorare su due importanti registri:

• passaggio dalle 2D alle 3 D con l’analisi e verifica dello sviluppo dei solidi

• passaggio da un oggetto reale ad una modellizzazione tramite oggetti matematici.

Se si intendesse assegnarlo anche a categorie superiori, ad esempio categoria 7, si potrebbe ampliare la situazione, agendo sulla variabile didattica del numero di poligoni disponibili e di rappresentarli senza l’ambiguità delle misure sottolineate precedentemente, ma mescolarli tutti assieme, in modo che fin dal primo approccio lo studente debba sapere scegliere le coppie adatte di poligoni per poter costruire il prisma triangolare.

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