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Le presse-papier suisse

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Rallye: 27.II.06 ; catégories: 4, 5, 6 ; domaine: 3D
Familles:

Résumé

Déterminer le nombre de cubes formant un polyèdre non convexe inscrit dans un cube, (ayant lui-même les mêmes axes et plans de symétrie que le cube)

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Observer la figure et comprendre que la partie invisible sur le dessin est la même que la partie visible.

- Comprendre que le presse-papier est formé de cinq couches de cubes : quatre identiques en forme de croix et d’une couche centrale en forme de carré (si on admet que qu’il n’y a pas de vide à l’intérieur*).

- Compter les cubes : dans chaque « croix » il y en a 9 ; 9 × 4 = 36 et dans la couche centrale 5 × 5 = 25 et conclure qu’il y a en tout 36 + 25 = 61 cube

Ou,

comprendre que le presse-papier peut être inscrit dans un cube « imaginaire » dont le côté vaut 5 fois le côté d'un cube magnétique et a donc pour volume 53 = 125 cubes. Comprendre alors que le volume du presse-papier est donné par la différence entre le volume du cube imaginaire et celui des 8 cubes de côté 2, qui ont été retirés des huit sommets du cube imaginaire (125 – 23 × 8 = 61).

On peut imaginer de nombreux autres manières de dénombrer les cubes.

Notions mathématiques

cube, polyèdre, dénombrement, puissance

Résultats

27.II.06

Points attribués sur 2487 classes de 20 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 4	144 (17%)	175 (20%)	110 (13%)	78 (9%)	356 (41%)	863	2.38
Cat 5	94 (10%)	124 (14%)	138 (15%)	100 (11%)	460 (50%)	916	2.77
Cat 6	217 (15%)	208 (15%)	143 (10%)	172 (12%)	694 (48%)	1434	2.64
Total	455 (14%)	507 (16%)	391 (12%)	350 (11%)	1510 (47%)	3213	2.61
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte (61 cubes) avec une explication détaillée de la stratégie adoptée (* au cas où les élèves disent explicitement qu’il manque de 1 à 5 cubes, invisibles, on accepte les réponses cohérentes de 56 à 60 cubes)
3 points: Réponse correcte avec description incomplète ou peu claire de la procédure suivie
2 points: Réponse correcte sans explication
ou une réponse incorrecte due à une erreur de calcul, mais avec une explication détaillée
1 point: Début de raisonnement correct (par exemple, identification du nombre de cubes présents dans certaines parties de la figure…)
0 point: Incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT