Des dés étranges

Identification

Rallye: 27.F.14 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: 3D, LR
Familles:

• CO - Chercher des arrangements ou des combinaisons
• VS - Visualiser dans l'espace

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Résumé

Trouver toutes les façons de placer des nombres sur les faces d’un cube de telle sorte que le produit des nombres écrits sur des faces opposées soit toujours égal à 24.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Dessiner un dé ou le construire pour identifier les faces opposées sur lesquelles il faut écrire les nombres.

- Comprendre qu'il faut identifier parmi tous les diviseurs de 24 (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24) les paires de nombres qui multipliés entre eux donnent 24. Les paires qui répondent à cette condition sont : (1 ; 24), (2 ; 12), (3 ; 8) et (4 ; 6), mais puisque le couple (1 ; 24) apparaît toujours sur chaque dé, il faudra trouver 2 autres couples parmi les 3 couples restants pour compléter les 4 autres faces.

- Procéder par essais-erreurs pour placer les différentes paires de couples possibles (remplir un patron et vérifier s’il a déjà été trouvé).

Ou

- Pour être sûr de n’oublier aucune solution, il vaut mieux fixer un couple et adapter les autres à tour de rôle ; par exemple, prendre le couple (2 ; 12) qui se combinera une fois avec (3 ; 8) et une autre fois avec (4 ; 6). De cette manière, 2 dés sont identifiés: ((1 ; 24) - (2 ; 12) - (3 ; 8)) et ((1 ; 24) - (2 ; 12) - (4 ; 6)).

- Procéder ensuite de la même manière en fixant le couple (3 ; 8) en le combinant avec le couple (4 ; 6) ; on obtient ainsi un autre dé : ((1 ; 24) - (4 ; 6) - (3 ; 8)) ; donc au total, Riccardo peut trouver 3 dés.

- Comprendre qu’en intervertissant deux faces opposées dans chacun des trois dés trouvés, on trouve trois nouveaux dés.

- Comprendre qu’en intervertissant d’autres faces opposées on retrouve un dé déjà répertorié parmi les 6 déjà trouvés (vérifiable par la manipulation).

- Remplir exactement 6 patrons ou entourer les 6 patrons corrects parmi les essais ou barrer tous les patrons ne répondant pas aux règles fixées par Riccardo pour ne garder que les 6 corrects suivants (d’autres organisations sont possibles) :

- Erreurs possibles :

• Liste erronée des décompositions en deux facteurs du nombre 24 ;
• Oubli des possibilités correspondant à l’interversion de seulement 2 faces opposées ;
• Ne pas percevoir des dés identiques et proposer des doublons, par exemple :

• Mal positionner les faces opposées, par exemple :

• Considérer les dés suivants comme différents (on ne pénalise pas mais on ne valorise pas non plus) :

- Possibilités équivalentes

Notions mathématiques

dé, développement, patron, cube, face

Résultats

27.F.14

Points attribués sur 125 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Exactement 6 dessins de dés différents bien identifiés (par exemple entourés ou non-barrés éventuellement parmi d’autres dessins) avec des explications suffisamment détaillées pour comprendre le raisonnement (liste des couples possibles, repérage des faces opposées avec matériel, tableau ou arbre de combinaison, évocation de l’inversion de 2 faces)
• 3 points: Exactement 6 dessins de dés différents bien identifiés (par exemple entourés ou éventuellement non-barrés parmi d’autres dessins), sans explications
  ou au moins 4 dessins de dés différents bien identifiés (par exemple entourés ou non-barrés éventuellement parmi d’autres dessins) avec des explications suffisamment détaillées
• 2 points: Au moins 4 dessins de dés différents bien identifiés (par exemple entourés ou non-barrés éventuellement parmi d’autres dessins) sans explications
  ou les 3 dessins de dés faisant intervenir respectivement les trois couples (24 ; 1), (12 ; 2), (8 ; 3) ou (24 ; 1), (12 ; 2), (6 ; 4) ou (24 ; 1), (8 ; 3), (6 ; 4) sans envisager les dés symétriques par rapport à un plan (avec des explications suffisamment détaillées pour comprendre le raisonnement)
• 1 point: Au moins deux dessins de dés différents identifiés (par exemple entourés ou non-barrés éventuellement parmi d’autres dessins) avec ou sans explications
• 0 point: Incompréhension du problème