Sucres en cubes

Identification

Rallye: 30.II.07 ; catégories: 5, 6 ; domaines: 3D, OPN
Familles:

• DCP - Décomposer un nombre naturel
• DIV - Rechercher des multipes et/ou des diviseurs
• LAV - Utiliser des longueurs, surfaces et volumes dans l'espace
• VS - Visualiser dans l'espace

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Résumé

Trouver les différentes décompositions de 54 en 3 facteurs qui sont des nombres naturels inférieurs à 30.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

Appropriation

- Imaginer les « boîtes » de l’énoncé qui sont des parallélépipède rectangles contenant 54 cubes de 1 cm d’arête et se rendre compte que c’est un objet de notre espace à trois dimensions, composé de différentes « couches » de cubes disposés eux-mêmes en rectangles, de deux dimensions (« lignes » et « colonnes »).

Résolution

- Appliquer la « formule » élémentaire du volume du parallélépipède formé de cubes de 1 cm d’arête ou la découvrir ou « l’inventer » et constater que la tâche est de trouver des ensembles (triplets) de trois nombres naturels dont le produit est 54.

- Organiser la recherche par exemple à partir de 1 × 2 × 27, (après avoir éliminé 1 × 1 × 54 qui a un nombre supérieur à 30) pour découvrir les autres triplets pour conclure qu’on a déjà trouvé cinq triplets différents pour les boîtes des cinq types de sucres.

Notions mathématiques

cube, multiple, diviseur, décomposition, volume,

Résultats

31.II.07

Points attribués sur 1991 classes de 19 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte “Oui les dimensions des 5 boîtes sont 1 × 2 × 27 ; 1 × 3 × 18 ; 1 × 6 × 9 ; 2 × 3 × 9 ; 3 × 3 × 6
• 3 points: Réponse « Oui » mais il manque une boîte dans la liste
  ou réponse « Non » car il n’y a que 4 boîtes trouvées et indiquées
• 2 points: Réponse « Oui » mais il manque deux boîtes dans la liste
  ou réponse « Non » cat il n’y a que 3 boîtes trouvées et indiquées
  ou une erreur dans les triplets
• 1 point: Une ou deux possibilités trouvées sans explication
  ou erreurs dans les triplets, ou doublons,
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Avec une "incompréhension du problème" qui atteint 70% des classes, on peut se demander pourquoi la grande majorité des élèves n’a pas pu répondre à la question.

S’agit-il du contexte trop artificiel des emballages ou des différents types de sucres ?, de la représentation mentale d’un parallélépipède rectangle ?, d'une vision insuffisante de l’espace? de la formule du volume ou du produit de trois nombres de la capacité à imaginer des « couches » de rectangles superposés ?

Dans les premières analyses de copies, on voit apparaître 54, la seule donnée numérique, et des multiplications dont le produit est 54, mais les élves n'arrivent pas à s'engager dans une résolution organisée et exhaustive.

Quelques exemples relevés par la section de MI:

- Un utilisant la calculatrice nous avons pensé à tous les nombres divisibles par 54, par exemple 54 : 6 = 9 et sont apparue les nombres 2, 3 et 6. (Dans l'exemple 6 x 9 = 54).

- Au début, nous avons fait 54 : 2 = 27 et nous les avons disposés sur deux lignes et nous avons formé une première boîte. Puis nous avons compris que que si 54 : 2 = 27 alors 54 : 27 = 2 et nous avons formé une autre boîte. Puis nous avons trouvé 54 : 3 = 18 et comme pour la première boîte nous avons fait 54 : 3 = 18 et 54 = 18 = 3 et nous avons 4 boîtes. Après nous sommes demandés "Est-ce qu'il y a une table de 54 ? oui 6 x 9".

- Une suite de 5 opérations : 18 x 3 = 54 ; 18 + 15 + 21 = 54; 15 + 10 + 29 = 54; 16 + 10 + 28 = 54 ; 19 + 20 + 15 = 54 puis Réponse: Oui, c'est possible, nous avons trouvé une solution pour chaque type de sucre.

- Oui, il y a 9 boîtes possibles : 27 x 1 x 2 ; 27 x 2 x 1 ; 1 x 2 x 27 ; 2 x 1 x 27 ; 3 x 3 x 6 ; 6 x 3 x 3; ...

- Un dessin de 54 cubes sur une seule couche, ou un dessin d'un rectangle de 9 x 6 carreaux

- Il n'est pas possible de calculer le volume d'un parallélépipède avec des mesures en 2D alors qu'on ne peut pas calculer le périmètre d'une figure en 3D.... et on ne peut pas mettre dans plusieurs récipients une quantité égales de sucres.

Exploitations didactiques

Lee contexte des différents sucres, disposés en emballages différents est très artificiel et complexe. Il faut y renoncer et se limite à la tâche mathématique cérite plus haut: "Trouver les différentes décompositions de 54 en 3 facteurs qui sont des nombres naturels inférieurs à 30" ou, plus concrètement à la recherche des différents parallélépipèdes rectangles que l'on peut former avec 54 cubes égaux. Dans ces conditions le problème est d'un grand intérêt pour la géométrie dans l'espace et, en arithmétique, pour la multiplication et ses propriétés.

Les liens entre les différents produits de trois facteurs (nombres naturels) et les parallélépipèdes s'établiront au fur et à mesure des différentes constructions. Par exemple : la "tour" des 54 cubes sur un cube de base avec le produit 1 x 1 x 54; les trois "plaques" d'un cube d'épaisseur 1 x 2 x 27, 1 x 3 x 18, 1 x 6 x 9; puis les deux derniers autres parallélépipèdes 2 x 3 x 9, 3 x 3 x 6.

Une belle occasion de donner du sens aux écritures multiplicatives et aux propriétés de la multiplication (élément neutre, associativité et commutativité) par des constructions effectives.