Zollette di zucchero

Identificazione

Rally: 30.II.07 ; categorie: 5, 6 ; ambiti: 3D, OPN
Famiglie:

• DCP - Scomporre un numero naturale
• DIV - Ricercare dei multipli e/o dei divisori
• LAV - Gestire lunghezze, superfici, volumi
• VS - Visualizzare nello spazio

Remarque et suggestion

Sunto

Individuare in quanti modi è possibile ottenere il numero 54 come prodotto tre numeri naturali minori di 30.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analyse a priori:

Appropriazione

- Immaginare le scatole descritte nell’enunciato: sono parallelepipedi rettangoli che contengono 54 cubetti con il lato di 1 cm e rendersi conto che sono oggetti tridimensionali composti da diversi “strati” di cubi disposti su rettangoli che hanno due dimensioni (righe e colonne).

Risoluzione

- Applicare la “formula” elementare del volume del parallelepipedo formato da cubi di 1 cm di spigolo o scoprirlo o “inventarlo” e rendersi conto che il compito consiste nel trovare l’insieme di tre numeri naturali che hanno come prodotto 54.

- Organizzare la ricerca, per esempio, a partire da 1 × 2 × 27 (dopo aver eliminato 1 × 1 × 54 che dà un numero maggiore di 30) e poi scoprire le altre terne e concludere che sono state trovate cinque terne diverse per 5 tipi diversi di zucchero.

Nozioni matematiche

cubo, multiplo, divisore, scomposizione, volume,

Risultati

31.II.07

Punteggi attribuiti su 1991 classi di 19 sezioni:

Secondo i criteri dell'analisi a priori :

• 4 punti: Risposta corretta: “Sì”, con la lista delle 5 possibilità: 1 × 2 × 27; 1 × 3 × 18; 1 × 6 × 9; 2 × 3 × 9; 3 × 3 × 6
• 3 punti: Risposta “Sì”, ma manca una scatola della lista
  oppure risposta “No” perché trovate e indicate solo 4 scatole
• 2 punti: Risposta “Sì”, ma mancano due scatole della lista
  oppure risposta “No” perché trovate e indicate solo 3 scatole
  oppure un errore nelle terne
• 1 punto: Una o due scatole trovate
  oppure più errori nelle terne o presenza di doppioni
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Con un “incomprensione del problema” che raggiunge il 70% delle classi, ci si può chiedere perché la stragrande maggioranza degli studenti non ha saputo rispondere alla domanda.

Sarà il contesto troppo artificiale della confezione o dei diversi tipi di zucchero? la rappresentazione mentale di un parallelepipedo rettangolare? una visione insufficiente dello spazio? la formula del volume o il prodotto di tre numeri? la capacità di immaginare “strati” di rettangoli sovrapposti?

Nelle prime analisi dei elaborati vediamo comparire 54, unico dato numerico, e moltiplicazioni il cui prodotto è 54, ma gli allievi non riescono a impegnarsi in una risoluzione organizzata ed esaustiva.

Alcuni esempi segnalati dalla sezione MI:

- Usando la calcolatrice abbiamo pensato a tutti i numeri divisibile x 54, per esempio 54 : 6 = 9 e ci sono usciti questi numeri 2, 3 e 6. (Nell'esempio 6 x 9 = 54).

- All'inizio, abbiamo fatto 54 : 2 = 27 e le abbiamo disposte su 2 righe sempre da 27 e abbiamo formato 1 scatola. Poi abbiamo capito che se 54 : 2 = 27 allora 54 : 27 = 2 e abbiamo formato un altra scatola. Poi abbiamo provato 54 : 3 = 18 e come per la prima scatola abbiamo fatto 54 : 3 = 18 e 54 = 18 = 3 e abbiamo 4 scatole. Dopodiché ci siamo chiesti "Ma c'è una tabellina che risulta 54 ? si 6 x 9".

- Una sequenza di 5 operazioni : 18 x 3 = 54 ; 18 + 15 + 21 = 54; 15 + 10 + 29 = 54; 16 + 10 + 28 = 54 ; 19 + 20 + 15 = 54 puis Risposta: Si è possibile abbiamo trovato una possibilità per ciascun tipo di zucchero.

- Si, sono 9 scatole possibili : 27 x 1 x 2 ; 27 x 2 x 1 ; 1 x 2 x 27 ; 2 x 1 x 27 ; 3 x 3 x 6 ; 6 x 3 x 3; ...

- Un disegno di 54 cubi su un unico strato o un disegno di un rettangolo di 9 x 6 tessere

- Non è possibile calcolare il volume di un parallelepipedo con misure in 2D mentre non si può calcolare il perimetro di una figura in 3D.... e non può stare in diversi recipienti una quantità di zolette.

Indicazioni didattiche

Il contesto dei diversi tipi di zuccheri disposti in diverse confezioni è molto artificiale e complesso. Dobbiamo rinunciarci e limitarci al compito matematico sopra menzionato: "Individuare in quanti modi è possibile ottenere il numero 54 come prodotto di tre numeri naturali minori di 30" o, più concretamente, alla ricerca dei diversi parallelepipedi rettangolari che possiamo formare con 54 cubi uguali. In queste condizioni il problema è di grande interesse per la geometria nello spazio e, in aritmetica, per la moltiplicazione e le sue proprietà.

I collegamenti tra i diversi prodotti di tre fattori (numeri naturali) e i parallelepipedi verranno stabiliti man mano che le diverse costruzioni procedono. Ad esempio: la "torre" di 54 cubi su una base di un cubo con il prodotto 1 x 1 x 54; le tre "piastre" di un cubo di spessore 1 x 2 x 27, 1 x 3 x 18, 1 x 6 x 9; poi gli ultimi due altri parallelepipedi 2 x 3 x 9, 3 x 3 x 6.

Una grande occasione per dare significato alle scritture moltiplicative e alle proprietà della moltiplicazione (elemento neutro, associatività e commutatività) attraverso vere costruzioni.

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