Banque de problèmes du RMT
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Trouver combien de parallélépipèdes rectangles de 1 x 2 x 3 peut-on disposer dans un cube de 8 x 8 x 8.
Imaginer les différentes dispositions des boîtes dans le cube. Considérer le carré du fond du cube et les rectangles de 2 x 3 représentant les boîtes placées « horizontalement ». Par exemple, on peut placer 10 rectangles de 2 x 3 selon plusieurs dispositions qui, à chaque fois représentent une couche de 10 boîtes de 1 cm de hauteur. En superposant 8 couches on occupe tout le cube à l’exception d’un « trou » de 4 cm$^2$ ou deux « trous » de 2 cm$^2$ dans lesquels on peut introduire une première fois deux boîtes placées verticalement (de base 1 x 2 et de hauteur 3) puis une seconde fois.
Les savoirs nécessaires sont les propriétés du parallélépipède rectangle et du cube: six faces, des rectangles ou carrés, huit sommets, 12 arêtes, le parallélisme des arêtes et des faces, les droites et plans perpendiculaires, l'égalité (l'isométrie) d'arêtes et de faces, ... Toutes ces connaissances se situent au niveau des objets physiques et de leurs observations et manipulations; elles doivent être encore "mathématisées", au niveau des figures géométriques.
parallélépipède rectangle, cube, face, rectangle, carré, parallélisme, perpendicularité, vision spatiale
Les réponses à la question sur le nombre maximum de boîtes dans le cube sont, pour les 9 classes de la finale internationale 2024 (A trequanda, en Toscane) : 160, 128, 102, 85; 84; 82; 64; 12 et une "non réponse".
Il n’y a pas de feuille blanche, toutes les copies présentent des essais de représentation (voir rubrique suivante).
On savait que la représentation des boîtes dans le cube par un dessin sur une feuille, à deux dimensions exige une figure en perspective qui ne peut pas permettre un comptage un à un car on n'y "voit pas" toutes les boîtes.
Sept exemples des neuf représentations:
Dans ce premier exemple, les élèves ont travaillé par couches, qu'ils appellent "solution". À côté de la figure qu'ils ont dessinée (dix rectangles 2 x 3 numérotés de 1 à 10, dans un carré 8 x 8 en vraie grandeur (cm) et deux rectangles de 1 x 2) Donc, dans chaque solution il y a 10 boîtes au maximum 8. Nous avons fait 10 x 8 en hauteur = 80 + 4 qui sont les boîtes que l'on peut enfiler verticalement. Réponse. Le nombre maximum de boîtes qui peuvent être dans un cube de 8 cm d'arête est 84.
Les exemples 2 et 3 sont des procédures "par couches". Les boîtes verticales de l'exemple 2 sont signalées par des flèches, le nombre 85 est très proche de la solution optimale, il y a vraisemblablement une imprécision dans le comptage des boîtes verticales de la troisième couche. Dans l'exemple 3, le pavage de la base est composé de carrés 2 x 2 au lieu de rectangles 2 x 3 et entraîne la réponse, cohérente, 128.
L'exemple 4 est une représentation, remarquable, en perspective avec deux couches de boîtes verticales (64 = 2 x (8 x 4) et une difficulté à dessiner la troisième couches de boîtes placées "sur le côté 1 x 2" : 18 au lieu de 20.
L'exemple 5 est une représentation en perspective avec les arêtes dessinées à la règle, mais ne respectant qu'une des trois dimensions du cube (la hauteur 8 cm).
L'exemple 6 est aussi une représentation en perspective, non aboutie et ne permettant pas de trouver le nombre de boîtes.
L'exemple 7 du cube ouvert ne permet évidemment pas d'arriver au nombre attendu de boîtes.
La variété des réponses et représentations obtenues par 9 classes montre tout l'intérêt de la pratique de l'activité Boîtes d’allumettes pour aborder en classe le domaine de "la géométrie de l'espace". Les exemples ci-dessus suffisent à s'en convaincre. Il y a un long travail à faire pour arriver à des représentations d'objets de l'espace (3D) sur une feuille de l'espace 2D.
Dans les phases de discussion et d'institutionnalisation, il faut observer ou faire observer que les représentations à deux dimensions, aussi précises soient-elles, ne permettent pas de dénombrer les boîtes avec certitude, pour des raisons d'opacité, mais qu'il faut aussi recourir à des raisonnements à partir de représentations à deux dimensions. En particulier à partir de pavages.
À propos de pavages, les élèves (voir exemple 1) trouvent par essais que les rectangles 2 x 3 ne peuvent pas recouvrir entièrement une face carrée de 8 x 8. Comment s'en convaincre ? En passant par l'arithmétique des mesures d'aires: la division de 64 ( = 8 x 8) par 6 ( = 2 x 3) donne un quotient entier et un reste de 4 ! Il faut encore vérifier avec les autres disposition des boîtes sur le fond (voir exemple 4, ou les deux premières couches n'ont aucun espace vide mais 8 cm$^2$ restent inoccupés dans la troisième couche.)
En appliquant l'algorithme de division sans tenir compte des contraintes du cube et de la disposition des boîtes, on arriverait à « 85 boîtes » car le quotient de 512 (8 x 8 x 8) par 6 donne un quotient entier de 85 et un reste de 2. (Type de procédure observée majoritairement chez des dans élèves de catégorie 8 à 10 et bien au-delà dans le problème La boîte de cubes (ral. 16.II.12 cat 6-10).
Pratiquement, l’activité peut être proposée après un premier débat collectif où les élèves se donnent quelques idées pour s’approprier la situation et les caractéristiques des objets : les boîtes, leurs dimensions, leurs faces qui sont des rectangles ; le cube et ses dimensions, dont le « fond » est un carré de dimensions connues, comme ses autres faces qui pourraient devenir le « fond » si on le plaçait sur une de ses « faces latérales ».
La recherche de la solution pourrait ensuite se développer par groupes, avec évidemment la construction des boîtes par les élèves, qui est la meilleure façon de renforcer leurs savoirs sur le parallélépipède rectangle et le cube: les différents développements (patrons), la précision des traits, des découpages et des pliages, etc.
Pour des raisons pratiques, il est préférable "d'agrandir" les boîtes en choisissant des unités de longueur de 2 cm plutôt que 1 cm. Les objets sont plus conformes à la réalité et les manipulations sont facilitées pour les collages. Si chaque élève de la classe en construit deux, c'est suffisant pour une première couche.
Jaquet F. (2024) Analyses de la finale internationale de 2024. In Gazette de Transalpie / Gazzetta del Trasalpino 15. pp.77-128