Le petit escargot paresseux

Identification

Rallye: 31.F.17 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: 3D, GP
Familles:

• CH - Déterminer des chemins et des parcours
• LAV - Utiliser des longueurs, surfaces et volumes dans l'espace
• VS - Visualiser dans l'espace
• VS/2D - Changer de points de vue

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Résumé

Établir la position d'un point sur une arête d'un cube de telle sorte qu'un chemin allant d’un sommet au milieu d’une face opposée et passant par ce point ait une longueur minimale, (après avoir rabattu une des faces pour la placer dans la même plan que l'autre).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Observer la figure et constater qu'il s'agit de la reproduction d'un cube en perspective : le point A sur la face arrière et le point E au milieu de la face avant.

- Comprendre qu'il faut déterminer la longueur minimale d'un chemin composé de deux segments appartenant respectivement à la face supérieure et à la face avant du cube et passant par A, un point P de l’arrête [CD], et le point E milieu de la face avant.

- Comprendre qu'il peut être avantageux de considérer le développement sur un plan des deux faces adjacentes sur lesquelles le chemin le plus court est le chemin APE, A, P, E étant alignés :

- Il faut donc trouver la longueur PD.

- Comparer les triangles ADP et AFE. Comme AD est le double de DF, constater qu'ils sont semblables dans un rapport de similitude de 2/3.

- Conclure que DP = 2/3 FE = 1/3 DC.

- En déduire que DP = 1/3∙48. Donc DP = 16 cm ; l’escargot doit passer à 16 cm de D, sur l’arête [CD]

Notions mathématiques

cube, face, arête, rotation, plan, homothétie, similitude, proportionnalité

Résultats

31.F.17

Points attribués sur 127 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Bonne réponse (16 cm du point D ou réponse équivalente, par exemple 32 cm du point C) avec explication complète du raisonnement suivi avec un dessin précis
• 3 points: Réponse correcte avec explication incomplète ou peu claire du raisonnement suivi ou réponse approximative (valeur comprise entre 15,5 cm et 16,5 cm) avec description claire de la procédure
• 2 points: Réponse correcte (16 cm ou valeur comprise entre 15,5 cm et 16,5 cm) sans explication,
  ou raisonnement correct (par exemple mesures prises sur un modèle de cube), mais avec une erreur dans le calcul du rapport de similitude
• 1 point: Début d'un raisonnement correct, par exemple quelques tentatives de mesure ou développement des deux faces sur un plan
• 0 point: Incompréhension du problème ou réponse déduite de mesures effectuées sur le dessin de l’énoncé